2017-2018学年上海市七宝中学高三(上)第一次联考数学试卷

【命题方向】

熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．

11．反函数 【知识点归纳】

【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x） 反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域． 【性质】

反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色

（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0} 且 f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数；

（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （8）反函数是相互的且具有唯一性；

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．

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12．函数零点的判定定理 【知识点的知识】 1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根． 特别提醒：

（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．

（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：

（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）=0的实数根．

13．函数的零点与方程根的关系 【函数的零点与方程根的关系】

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．

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【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）． 例题：求函数f（x）=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点． 解：∵f（x）=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 =（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）

∴函数f（x）=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1． 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可． 【考查趋势】

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．

14．函数与方程的综合运用 【知识点的知识】

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．

15．分段函数的应用 【分段函数的应用】

分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数． 【具体应用】

正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时

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常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法． 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件

元，预计年销售量将减少p万件．

（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；

（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？ （Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件， 年销售收入为

（11.8﹣p）万元，

（11.8﹣p）p%（万元）

政府对该商品征收的税收y=故所求函数为y=

（11.8﹣p）p

由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分） （II）由y≥16得

（11.8﹣p）p≥16

化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10． 故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分） （III）第二年，当税收不少于16万元时， 厂家的销售收入为g（p）=∵

∴g（p）max=g（2）=800（万元） 故当税率为2%时，厂家销售金额最大．

这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅

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（11.8﹣p）（2≤p≤10）

在[2，10]是减函数