2017-2018学年上海市七宝中学高三(上)第一次联考数学试卷

模型来分析解决问题．

6．函数单调性的性质与判断 【知识点的认识】

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，

当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．

第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．

第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．

第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．

第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．

第六步：明确规范地表述结论 【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想

第29页（共42页）

方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．

7．函数奇偶性的性质与判断 【知识点的认识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．

例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（ ）

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关 解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称． 因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数． 故选B．

【命题方向】函数奇偶性的应用．

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．

8．函数恒成立问题 【知识点的认识】

恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中

第30页（共42页）

的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）=ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单 【解题方法点拨】

一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．

例：f（x）=x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围． 解：由题意可知：a≤ 即a≤x++2 ?a≤2

+2

恒成立

【命题方向】

恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．

9．函数的值 【知识点的认识】

函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】

求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2

=8；

②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和，易知最小值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较

例题：求f（x）=lnx﹣x在（0，+∞）的值域

第31页（共42页）

解：f′（x）=﹣1=

∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减 ∴最大值为：ln1﹣1=﹣1，无最小值； 故值域为（﹣∞，﹣1） 【命题方向】

函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．

10．二次函数的性质与图象 【二次函数】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y=ax2+bx+c（a≠0）

【二次函数的性质】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．

这里面略谈一下他的一些性质．

①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=﹣

；最值为：f（﹣

）；判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，函

数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点． ②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=﹣，x1?x2=；

③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．

④平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x﹣1+b）2+c；

第32页（共42页）