2017-2018学年上海市七宝中学高三(上)第一次联考数学试卷

故m=﹣k2，n=，

故函数f（x）=k0x+b为增函数，k0＞0， 由y=k0x+b得：x=故f﹣1（x）=

x﹣

y﹣，

，

由y=得：x=， ，

故g﹣1（x）=

两个反函数交于（﹣1，m），（2，n）点； 两个函数的草图如下图所示：

当x∈[﹣1，0）∪[2，+∞）时，f﹣1（x）≥g﹣1（x）， 故答案为：[﹣1，0）∪[2，+∞）

【点评】本题考查的知识点是反函数，函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．

10．（3分）（2017秋?闵行区校级月考）若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为 2 ． 【考点】R3：不等式的基本性质．

【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；56 ：三角函数的求值．

【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=

sinθ，2xy﹣2=2

cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=

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，

即可得出．

【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4， 变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8， 令x+2y=

sinθ，2xy﹣2=2

cosθ，θ∈[0，2π）． ，

则当x+2y取得最大值时，θ=则x+2y=2解得x==2．

故答案为：2．

，2xy﹣2=0， ，y=

．

【点评】本题考查了实数的性质、三角函数代换方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．（3分）（2017秋?闵行区校级月考）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=

．

【考点】52：函数零点的判定定理．

【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；32 ：分类讨论；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．

【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+e﹣x+1）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+e﹣x+1）=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+e﹣x+1）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+e﹣x+1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

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所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+e﹣x+1）的图象的最高点为B（1，2a），

由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+e﹣x+1）的图象有两个交点，矛盾；

③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+e﹣x+1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+e﹣x+1）的图象的最低点为B（1，2a），

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件； 综上所述，a=， 故答案为：．

【点评】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性，考查运算求解能力，数形结合能力，转化与化归思想，分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．

12．（3分）（2017?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=的解的个数是 8 ．

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．

，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0

【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．

【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=

，其中集合D={x|x=

，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx

图象交点的个数，进而可得答案．

【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=

，

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第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f（x）=只有一个交点； 同理：

区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点； 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档． 二.选择题

13．（3分）（2008?沙坪坝区校级模拟）对于给定集合A、B，定义A※B={x|x=m﹣n，m∈A，n∈B}．若A={4，5，6}，B={1，2，3}，则集合 A※B 中的所有元素之和为（ ）

A．27 B．14 C．15 D．﹣14 【考点】12：元素与集合关系的判断．

，此时f（x）的图象与y=lgx有且

【专题】23 ：新定义．

【分析】由A※B={x|x=m﹣n，m∈A，n∈B}，A={4，5，6}，B={1，2，3}，先求出A※B，然后再求集合A※B中的所有元素之和．

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