2017-2018学年上海市七宝中学高三(上)第一次联考数学试卷

仅某段函数的讨论． 【考查预测】

修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．

16．根据实际问题选择函数类型 【知识点的知识】 1．实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容． 2．用函数模型解决实际问题 （1）数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

（2）常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y=kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k＞0）． ②反比例函数模型：y=（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小． ③指数函数模型：y=a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．

④对数函数模型，即y=mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．

⑤幂函数模型，即y=a?xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）． 在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特

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点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等． 3．函数建模

（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模． （2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】

典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ） A．y=0.025x B．y=1.003x C．y=l+log7x D．y=

x2

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x?25%，然后一一验证即可． 解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足： 当x∈[10，1000]时，

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x?25%=x，

A中，函数y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求； B中，函数y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求； C中，函数y=l+log7x，易知满足①，当x=1000时，y取最大值l+log71000=4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求； D中，函数y=

x2，易知满足①，当x=400时，y＞5不满足公司要求；

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故选C

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=

（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已

知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：

（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数； （2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．

（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大． 解答：解：（1）由题意：3﹣x=且当t=0时，x=1． 所以k=2，所以3﹣x=

，…（1分）

，…（2分） …（3分）

=

，（t≥50）；…（2分） 当且仅当

，即t=7时取等号，…（4分）

，

生产成本为 32x+3，每件售价所以，y==16x﹣（2）因为

所以y≤50﹣8=42，…（1分）

答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应

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用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法： （1）解函数关系已知的应用题

①确定函数关系式y=f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y=f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案． （2）解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意

看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型； ②抽象函数模型

在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型； ③研究函数模型的性质

根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解； ④得出问题的结论

根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．

17．反证法 【知识点的认识】

反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．

【解题思路点拨】

用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛

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