四川省资阳市2020届高三第二次诊断性考试试题数学理Word版含答案

，)，所以因为C过点P(13219?2?1，又c2?b2?a2，解得a?2，b?3， 2a4bx2y2··············································································· 4分 所以椭圆方程为??1． ·

43（2）① 显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M?x1,y1?，N?x2,y2?， 由于直线l1，l2与圆(x?1)?y?r(0?r?2223)相切，则有k1??k2， 23?y?kx?k?，11??32 直线l1的方程为y??k1?x?1?， 联立方程组?222?x?y?1，?3?4消去y，得x2?4k12?3??k1?12?8k1?x??3?2k1?2?12?0，

k1?8k1?12?4k?3，

21因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1?1?，

同理，当l2与椭圆相交时，x2?1?k1?8k1?12?4k12?3所以x1?x2??24k1?12k1y?y?kx?x?2k???，而， 1211214k12?34k12?3y1?y21?．

x1?x22所以直线MN的斜率k?1?y?x?m，??12 ② 设直线MN的方程为y?x?m，联立方程组?22xy2???1，?3?4消去y得x2?mx?m2?3?0，

12所以MN?1?()2?m2?4(m2?3)?2m15， 4?m2，原点O到直线的距离d?252m11533m2?4?m2222?OMN得面积为S??4?m??m(4?m)??3，

222225当且仅当m2?2时取得等号．经检验，存在r（0?r?33，)的两条直线与圆），使得过点P(122(x?1)2?y2?r2相切，且与椭圆有两个交点M，N．

·········································································· 12分 所以?OMN面积的最大值为3． ·21．（12分）

[?ex?(3?x)ex]x?(3?x)ex?a(?x2?3x?3)ex?a（1）由题f??x???(x?0)．

x2x2方法1：由于?x?3x?3??233?0，?ex??1?0，(?x2?3x?3)ex??， 44又a??3，所以(?x2?3x?3)ex?a?0，从而f??x??0， 4············································································· 4分 于是f(x)为(0,＋∞)上的减函数． ·

方法2：令h(x)?(?x2?3x?3)ex?a，则h?(x)?(?x2?x)ex，

当0?x?1时，h?(x)?0，h(x)为增函数；当x?1时，h?(x)?0，h(x)为减函数． 故h(x)在x?1时取得极大值，也即为最大值． 则h(x)max?h(1)??e?a．由于a??3，所以h(x)max?h(1)??e?a?0， 4············································································ 4分 于是f?x?为(0,＋∞)上的减函数． ·

（2）令h(x)?(?x2?3x?3)ex?a，则h?(x)?(?x2?x)ex，

当0?x?1时，h?(x)?0，h(x)为增函数；当x?1时，h?(x)?0，h(x)为减函数． 当x趋近于??时，h(x)趋近于??．

由于f?x?有两个极值点，所以f??x??0有两不等实根，

即h(x)?(?x2?3x?3)ex?a?0有两不等实数根x1，x2（x1?x2）． 则??h(0)?0,解得?3?a??e．

h(1)?0,?333333可知x1?(0,1)，由于h(1)??e?a?0，h()??e2?a??e2+3?0，则x2?(1,)． 2244而f??x2??(?x22?3x2?3)ex2?ax22x?0，即e2?a（#）

?x22?3x2?3所以f?x?极大值ax2?2a(3?x2)ex2?a?f(x2)?，于是f?x2??2，（*）

x2?3x2?3x2t1g?t??2a?a11令t?x2?2?x2?t?2(?1?t??)，则（*）可变为， t?t?1t??12t可得?1?1?t1??g?t??2a?a?311，而?3?a??e，则有， 3t?t?1t??1t??1tt32下面再说明对于任意?3?a??e，x2?(1,)，f?x2??2．

又由（#）得a?ex2(?x22?3x2?3)，把它代入（*）得fx2?(2?x2)e所以当x2?(1,)时，f?x2?(1?x2)e??x2，

32??x2?0恒成立，

3331·················· 12分 故f?x2??(2?x2)e为(1,)的减函数，所以f?x??f()?e2?2． ·

2222x2所以满足题意的整数m的最小值为3. （二）选考题：共10分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?2x?1?t，??2（1）由?得l的普通方程x?y?1?0．

?y?2t??2又由??4sin?，得?2?4?sin?，

2222···················· 4分 所以，曲线C的直角坐标方程为x?y?4y?0，即x??y?2??4． ·

22（2）设P?x,y?，M?x0,y0?，则x0?(y0?2)?4，

22由于P是OM的中点，则x0?2x，y0?2y，所以(2x)?(2y?2)?4，

2得点P的轨迹方程为x??y?1??1，轨迹为以?0,1?为圆心，1为半径的圆．

2圆心?0,1?到直线l的距离d?所以点P到直线l的最小值为0?1?12?2．

··································································· 10分 2?1． ·

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

（1）当a=－4时，求不等式f(x)≥6，即为|2x?4|?|x?2|?6， 所以|x－2|≥2，即x－2≤－2或x－2≥2，

············································································ 4分 原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}． ·

（2）不等式f(x)?3a?|2?x|即为|2x+a|+|x－2|≥3a2－|2－x |， 即关于x的不等式|2x+a|+|4－2x |≥3a2恒成立． 而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|， 所以|a＋4|≥3a2，

解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2， 解得?1?a?24或a??． 343················································································ 10分 所以a的取值范围是[?1,]． ·