四川省资阳市2020届高三第二次诊断性考试试题数学理Word版含答案

19.（12分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ACC1A1?底面ABC，AA1?AC?AC，AB?BC，AB?BC，E，F分别为AC，B1C1的中点. 1（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1； （2）求二面角A1?BC?B1的余弦值.

20.（12分）

13x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且过点P(1，)．

22ab（1）求椭圆C的方程；

3222（2）过P作两条直线l1，l2与圆(x?1)?y?r(0?r?)相切且分别交椭圆于M，N

2两点．

① 求证：直线MN的斜率为定值；

② 求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．

21．（12分）

(3?x)ex?a已知函数f(x)?(x?0，a?R)．

x（1）当a??3时，判断函数f(x)的单调性； 4（2）当f(x)有两个极值点时， ① 求a的取值范围；

② 若f(x)的极大值小于整数m，求m的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?2t，?x?1??2在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（其中t为参数），在以原点

2?y?t??2O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??4sin?．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)?|2x?a|?|x?2|（其中a?R）． （1）当a＝－4时，求不等式f(x)≥6的解集；

（2）若关于x的不等式f(x)≥3a2?|2?x|恒成立，求a的取值范围．

资阳市高中2015级第二次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.D 12.C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。 13. 35；14. 三、解答题：本大题共70分。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

（1）当n?1时，a1?2a1?2，解得a1?2，

当n?2时，Sn?2an?2，Sn?1?2an?1?2. 则an?2an?2an?1，所以an?2an?1， 所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列. 故an?a1qn?14；15. 12；12. (1,3]． 3···························································································· 4分 ?2n. ·

nnn（2）bn?2log22?n?2,

则Tn?1?2?2?2?3?2?23?n?2n①

②

2Tn?1?22?2?23?3?24?①－②得：?Tn?2?2?2?所以Tn?(n?1)?2由Tn?n?2n?1n?123?(n?1)?2n?n?2n?1?2?n?2nn?12(1?2n)??n?2n?1?2n?1?n?2n?1?2. 1?2?2．

?50?0得2n?1?52. 由于n?4时，2n?1?25?32?52；n?5时，2n?1?26?64?52. 故使Sn?n?218．（12分）

（1）由题，t?n?1·············································· 12分 ?50?0成立的正整数n的最小值为5. ·

?????????????????????????????????3.5，y??7，

66?(ti?166i?t)(yi?y)?(?2.5)?(?0.4)?(?1.5)?(?0.3)?0?0.5?0.1?1.5?0.2?2.5?0.4?2.8， ?t)2?(?2.5)2?(?1.5)2?(?0.5)2?0.52?1.52?2.52?17.5．

?(ti?1i所以b?2.8?0.16，又a?y?bt，得a?7?0.16?3.5?6.44， 17.5······················································ 6分 所以y关于t的线性回归方程为y?0.16t?6.44． ·

（2）① 由（1）知y?0.16t?6.44，当t?7时，y?0.16?7?6.44?7.56， 即2018年该农产品的产量为7.56万吨．

② 当年产量为y时，销售额S?(4.5?0.3y)y?10?(?0.3y?4.5y)?10（万元），

3236.7，，77.1，7.2，7.4，7.56?， 当y?7.5时，函数S取得最大值，又因y??6.6，··············································· 12分 计算得当y?7.56，即t?7时，即2018年销售额最大. ·19.（12分）

（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点， 所以FG∥A1B1．又A1B1?平面ABB1A1，FG?平面ABB1A1， 所以FG∥平面ABB1A1．又AE∥A1G且AE＝A1G， 所以四边形AEGA1是平行四边形．

则EG∥AA1．又AA1?平面ABB1A1，EG?平面ABB1A1， 所以EG∥平面ABB1A1．

所以平面EFG∥平面ABB1A1．又EF?平面EFG，

················································································· 6分 所以直线EF∥平面ABB1A1． ·（2）令AA1＝A1C＝AC＝2，

由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E?平面A1AC， 则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，13)． 3)，A(0，－1，0)，B1(1，，所以BC?(?1,1,0)，BA1?(?1,0,3)，BB1?AA1?(0,1,3)， 令平面A1BC的法向量为n1?(x1,y1,z1)，

???x1?y1?0,?n1?BC?0,?由?则?令x1?3，则n1?(3,3,1)．

?x?3z?0,??11?n1?BA1?0,?令平面B1BC的法向量为n2?(x2,y2,z2)，

???x2?y2?0,?n2?BC?0,?由?则?令x2?3，则n2?(3,3,?1)．

y?3z?0,?n?BB?0,??22?21由cos?n1,n2??20.（12分）

（1）由e?n1?n25?，故二面角A1?BC?B1的余弦值为5. ························ 12分

n1n2771，设椭圆的半焦距为c，所以a?2c， 2