从方程论到群论

只是浪费时间做无用功。如果解存在，那是否唯一呢？这个问题在哲学上是形而上学问题，这种问题的提法是否合法？存在是什么？是数学解决不了的。但是在方程论这种问题又是关键的，而且不仅仅限于方程论，存在性的证明在数学中及其基础和普遍的。在解决了一次、二次、三次、四次方程时，发现这些方程在复数C中根的个数分别是1、2、3、4，而且特殊n次方程分园方程X-1=0有n个不同的解，于是应用归纳法可以猜想n次方程在复数域C上有n个解。高斯曾应用复数坐标系证明了n次方程至少存在一个解，但这个结果跟我们最初初衷证明n次方程有n个解相差还很远。经日后数学家们不断完善，最终证明了：

n

代数基本定理：n次方程在复数C上有n个根

证明过程很繁杂，要了解更详细信息，可参考莫里斯·克莱因的《古今数学思想》。有了代数基本定理，就可以安心地进行下一步工作了。证明了解的存在后，接下的问题是，存在的解可用系数表出来吗？为什么一般五次方程的解存在但是所有想用系数把解表示出来的尝试都失败了呢？这时，一个想当然的工作是，拨开技巧的外衣，将对一次、二次、三次、四次的方程的解法统一起来，运用到五次方程上寻找线索。范德蒙、拉普拉斯是其中的代表，而且成就显著。

4. 范德蒙思想

1771年，范德蒙在法国科学院宣读了一篇论文，这篇论文就是他的全部数学成果。在介绍范德蒙思想之前，有几个知识是必要介绍的，一是韦达定理、一是牛顿定理。

韦达定理：设

??，11是二次方程X+bX+c=0的两个解，则有 22

?1??2?-b，

??2=c

推广的韦达定理：设

???、1、2122是三次方程X+bX+cX+d=0的三个解，则 332

?+?+?123=-b，

??+??+??313=c，

???123=-d

还可继续推广到四次、五次、六次···方程上这个发现将方程的根跟方程的系数联

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系了起来，这个认识对解决问题“方程的根能否用方程的系数表示出来”是至关重要的，范德蒙就是深刻把握了这个认识从而在统一化方程解法的尝试上获得突破。但是范德蒙的成就比起跟他同时代的拉格朗日来说就微不足道了。为能应用关键概念进行描述，再介绍牛顿小时候的一个小数学成就，牛顿定理：

牛顿定理：任何一个关于变量

示为初等对称多项式

?、?、?123···

?n的对称多项式都可以唯一地表

?、?12、

?3···

?n

的多项式。

牛顿定理将我们对方程解的研究带到研究多项式的对称性上，第一个准确把握这条路的人就是范德蒙，这是他超越时代的条件。关于

?、?、?12123···

?n

的多项式是多种多样的，对称

多项式是其中一种特殊的多项式，它在关于

?、?、?12

3···

?n的任意两个变量的位置置分别为（例如当n=3时）

换后多项式的值保持不变。而初等对称多项式

?、?、?3133···

?n

?=?+?+?，?=??+??+??，?=???11232

1223123

由此可知

???+1+2333是对称多项式，且3???+1+23333=

（

???+1+231）33

-3（?1+?2+?3）（?1?2+?2?3+?1?3）+3（?1?2?3）=

?-3?1?2+3?3

有以上知识铺垫，就可阐述范德蒙思想。因为每一个系数对应相应根的初等对称多项式，

若方程的解可用系数表示出，那么表达式必是对称的。于是，范德蒙试图把方程的每一个根统一表示成所有根的对称函数，在用这种统一方法处理二次、三次、四次方程时，范德蒙都获得了成功，但是在处理五次方程时失败了。

5. 拉格朗日思想

拉格朗日曾给自己提出一个任务：分析解二次、三次、四次方程的各种解法，看这些方法为什么能把方程解出来，这些方法对解更高次的方程能提供什么线索。与范德蒙思想类似，但拉格朗日表述得更具体。范德蒙直接把着眼点放在根的通用形式上，很复杂。拉格朗日则取范德蒙通用形式中的某一普遍表达式来研究，拉格朗日称为预解式，使研究问题变得更具体、更有效率。拉格朗日核心思想为：看预解式方程在所有根的置换下发生了什么变化。

对于三次方程X3+qX+p=0，引进变换X=Y-q/3Y得

Y6+pY3-q3/27=0

这方程称为简化方程，设r=Y3，则

r2+pr-q3/27=0

于是可算出根r1，r2，但是从r到Y必须解方程

Y3-r=0 所以Y=3r1，?r123r1，?3r1，3r2，?3r2，?23r2，带回X

X=3+3r2

X=?3r1+?2323rr2

X=?r1+?32

这样原方程的解就是由简化方程得到，拉格朗日证明他的前辈们用的各种不同方法都相当于上面的方法。打开这些方程的奥秘一定是隐藏在把简化方程的解用原先的方程的解的联系中，这是拉格朗日思想的前瞻之处。

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当X1，X2，X3按特定顺序取出时，每一个Y值都能写成（因为1+?+?=0）形式

Y=（X1+?X2+?X3）/3

这个式子可以带领我们发现简化方程的两条性质：

①所有的Y值有3！=6个，因而Y应该满足一个6次方程，故简化方程的次数由原

22方程的根的置换个数决定。

②为什么简化方程可化为2次方程，因为在6种置换中，方程只取两个值。就此，

还可定义拉格朗日预解方程，从而得出解。

拉格朗日用他的预解式研究方程的解，再用预解方程得出解的表达式。这个方法应用在二次、三次、四次方程求解时非常成功，但是在解五次方程时也失败了。但是拉格朗日抓住了关键点：为了弄明白方程的可解性必须观察他们解的置换，以及在这些置换下特定的关键表达式，即预解方程发生了什么变化。此外拉格朗日还证明了一个重要定理，拉格朗日定理：对含有n个变量的多项式，作这些变量的所有n！个变换，假设这些变换的结果有A种，那么，A可整除n！。

6. 伽罗瓦思想和群论

伽罗瓦继承了拉格朗日的工作，在研究方程预解式的n！种变量置换时，将所有置换组成的集合称为一个群，这个群的阶是它元素的个数，所这种置换群的阶是n！，这种群称为伽罗瓦群。将置换群的最基本性质选择出定义群这个概念：

①封闭性：群中任意两个元素的结合仍在群中

②结合性：如果a、b、c是群中任意元素，则aX（bXc）=（aXb）Xc

③存在单位元：群中存在这样一个元素，当群中任意元素与这个元素结合时都