高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试

2?增; 当a?1,x????,???,f(x)递增;当a?1,x?????,?,或x??2,???,f(x)递增;（3）因a?0,由②分a??两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：

32?1、当2??1,?a??2, x???1,0????,2?,f(x)递增，f(x)min?f(?1)??3，解得a????2, 4a?a?2、当2??1,?a??2,由单调性知：f(x)min?f()??3，化简得：3a2?3a?1?0，解得

aa3?3?21a???2,不合要求；综上，a??为所求。

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2a2?lnx，其定义域为?0，20．（1）解法1：∵h?x??2x? ???， xa21∴h??x??2?2?．

xx2∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a?0．

∵a?0，∴a?经检验当a?∴a?3．

3时，x?1是函数h?x?的极值点，

3．

a2?lnx，其定义域为?0，解法2：∵h?x??2x????， xa21∴h??x??2?2?．

xxa2122令h??x??0，即2?2??0，整理，得2x?x?a?0．

xx2∵??1?8a?0，

?1?1?8a2?1?1?8a2∴h??x??0的两个实根x1?（舍去），x2?，

44当x变化时，h?x?，h??x?的变化情况如下表：

x ?0,x2? — x2 0 极小值 ?x2,??? ＋ h??x? h?x? ] Z ?1?1?8a2?1，即a2?3， 依题意，4∵a?0，∴a?3． （2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的x1,x2??1，e?都有

??f?x???min≥??g?x???max．

当x?［1，e］时，g??x??1?∴函数g?x??x?lnx在?1，e?上是增函数． ∴??g?x???max1?0． x?g?e??e?1．

a2?x?a??x?a?∵f??x??1?2?，且x??1,e?，a?0． 2xx?x?a??x?a??0，

①当0?a?1且x?［1，e］时，f??x??x2a2∴函数f?x??x?在［1，e］上是增函数，

x2∴?. fx?f1?1?a???????min由1?a≥e?1，得a≥e，

又0?a?1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则f??x??2x2?x?a??x?a??0若a＜x≤e，则f??x??． 2xa2∴函数f?x??x?在?1,a?上是减函数，在?a，e?上是增函数．

x∴??f?x???min?f?a??2a.

由2a≥e?1，得a≥又1≤a≤e，∴

?x?a??x?a??0，

e?1， 2e?1≤a≤e． 2③当a?e且x?［1，e］时，f??x???x?a??x?a??0x2，

a2∴函数f?x??x?在?1，e?上是减函数．

xa2∴??f?x???min?f?e??e?e.

a2

由e?≥e?1，得a≥e，

e

又a?e，∴a?e．

?e?1?,???． 综上所述，a的取值范围为??2?

1、函数f?x?从x1到x2的平均变化率：

导数及其应用 知识点总结

f?x2??f?x1?x2?x1x?x0

2、导数定义：f?x?在点x0处的导数记作y??f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)；．

?x3、函数y?f?x?在点x0处的导数的几何意义是曲线4、常见函数的导数公式：

'①C?0；②(x)?nxx'xn'n?1'y?f?x?在点

'??x0,f?x0??处的切线的斜率．

； ③(sinx)?cosx；④(cosx)??sinx；

x'x'⑤(a)?alna；⑥(e)?e； ⑦(logax)?11'；⑧(lnx)? xlnax5、导数运算法则：

??f??x??g??x?fx?gx??????1? ???；

??2? ??f?x??g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?；

?f?x???f??x?g?x??f?x?g??x?g?x??0?????2??3??g?x???g?x???．

6、在某个区间?a,b?内，若f??x??0，则函数y?f?x?在这个区间内单调递增；

若f??x??0，则函数y?f?x?在这个区间内单调递减．

7、求函数y?f?x?的极值的方法是：解方程f??x??0．当f??x0??0时：

?1?如果在x0附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0，那么f?x0?是极大值；

?2?如果在x0附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0，那么f?x0?是极小值． 8、求函数y?f?x?在?a,b?上的最大值与最小值的步骤是： ?1?求函数y?f?x?在?a,b?内的极值；

?2?将函数y?f?x?的各极值与端点处的函数值f?a?，f?b?比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值．

9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。

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