2015年高考数学文真题分类汇编：专题04 三角函数与解三角形 Word版含解析

9.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(

?6x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

【答案】8

【解析】由图像得，当sin(当sin(?6x??)??1时ymin?2，求得k?5，

?6x??)?1时，ymax?3?1?5?8，故答案为8.

【考点定位】三角函数的图像和性质.

【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是

整理法，从图像中知此题sin(?6x??)??1时，y取得最小值，继而求得k的值，当

sin(?6x??)?1时，y取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.

2【2015高考上海，文1】函数f(x)?1?3sinx的最小正周期为 . 【答案】?

【解析】因为2sin2x?1?cos2x，所以f(x)?1?数f(x)的最小正周期为

313(1?cos2x)???cos2x，所以函2222???. 213?cos2x，再根据22【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.

【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为f(x)??T?2??求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.

10.【2015高考湖南，文15】已知?>0,在函数y=2sin?x与y=2cos?x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则? =_____. 【答案】???2

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

5

1?15?（（k1??，2），（（k2??，?2），k1，k2?Z? , 距离最短的两个交点一定在同一?4?4215??2?2个周期内，?23?2（?）?（?2?2），??? .

?442??【考点定位】三角函数图像与性质

【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.

11.【2015高考天津，文14】已知函数f?x??sin?x?cos?x???0?,x?R,若函数f?x?在区间???,??内单调递增,且函数f?x?的图像关于直线x??对称,则?的值为 ．

【答案】π 2【解析】由f?x?在区间???,??内单调递增,且f?x?的图像关于直线x??对称,可得

2??π? ,且

π??f????sin?2?cos?2?2?sin??2???14??,所以

?2?πππ????. 422【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.

【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①f?x??Asin??x????A?0,??0?的单调区间长度是半个周期;②若f?x??Asin??x????A?0,??0?的图像关于直线x?x0 对称,则f?x0??A 或f?x0???A.

12.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________. 【答案】－1

【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2

2sin?cos??cos2?2tan??1?4?1????1 2sinαcosα－cosα＝222sin??cos?tan??14?12

【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.

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【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. 13.【2015高考安徽，文12】在?ABC中，AB?6，?A?75?，?B?45?，则

AC? .

【答案】2

【解析】由正弦定理可知：

ABAC6AC????AC?2 ??????sin60sin45sin[180?(75?45)]sin45【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.

【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力. 14.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山

顶D在西偏北30?的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75?的方向上，仰

角为30?，则此 山的高度CD?_________m. 【答案】1006. CBD【解析】在?ABC中，?CAB?300，?ACB?750?300?450，根据正弦定理知，BCAB， ?sin?BACsin?ACBA 即BC?AB6001?sin?BAC???3002sin?ACB222，所以

CD?BC?tan?DBC?3002?3?100，6故应3填

1006.

【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.

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【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.

【2015高考上海，文14】已知函数f(x)?sinx.若存在x1，x2，???，xm满足

0?x1?x2?????xm?6?，且

|f(x1)?f(x2)|?|f(x2)?f(x3)|?????|f(xm?1)?f(xm)|?12(m?2,m?N?)，则m的

最小值为 . 【答案】8

【解析】因为函数

f(x)?sinx对任意xi，xj(i,j?1,2,3,???,m)，

|f(xi)?f(xj)|?f(x)max?f(x)min?2，

欲使m取得最小值，尽可能多的让xi(i?1,2,3,???,m)取得最高点，考虑

0?x1?x2?????xm?6?，

|f(x1)?f(x2)|?|f(x2)?f(x3)|?????|f(xm?1)?f(xm)|?12(m?2,m?N?)按下图取

值满足条件，

所以m的最小值为8.

【考点定位】正弦函数的性质，最值.

【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数y?sinx对任意xi，

xj(i,j?1,2,3,???,m)，|f(xi)?f(xj)|?f(x)max?f(x)min?2是关键.

15.【2015高考北京，文11】在???C中，a?3，b?【答案】

6，???2?，则??? ． 3?4

8