SAS学习系列39.时间序列分析报告Ⅲ—ARIMA模型

（1）均值：E(xt)??01??1?L??p2?;

（2）自协方差函数：?(k)????GiGi?k，其中Gi为格林函数；

i?0?(k)?（3）自相关函数：?(k)??i?0??(0)?GiGi?k

2G?ii?0

3. 模型的初步定阶

对于平稳非白噪声序列，计算出样本自相关系数（ACF）和偏自

?，?和移动平均阶数q相关系数（PACF），根据其性质估计自相关阶数p称为ARMA(p,q)模型的定阶。

?都近似服?(k)和偏自相关函数?可以推导出：样本自相关函数?kk1从正态分布N(0,).

n取显著水平α=0.05，若样本自相关系数和样本偏自相关系数在最初的k阶明显大于2倍标准差，而后几乎95%的系数都落在2倍标准差的范围内，且非零系数衰减为小值波动的过程非常突然，通常视为k阶截尾；若有超过5%的样本相关系数大于2倍标准差，或者非零系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或连续，通常视为拖尾。

4. 参数估计

对非中心化的ARMA(p,q)模型

xt????q(B)?p(B)?t.

参数μ可用样本均值来估计总体均值（矩估计法），初步定阶估计出自

?后，模型共有p+q+1个未知参数：?和移动平均阶数q相关阶数p?1,L,?p,?1,L,?q,??2.

（1）参数的矩估计

用时间序列样本数据计算出延迟1阶到p+q阶的样本自相关函

?(k)，数?延迟k阶的总体自相关函数为?k(?1,L,?p,?1,L,?q). 用计算

出的样本自相关函数来估计总体自相函数，得到p+q个联立方程组：

?,L,??,??,L,??. 从中解出?1,L,?p,?1,L,?q的值作为未知参数估计值?1p1qARMA(p,q)模型的两边同时求方差，并把前面的参数的估计值代入，可得白噪声序列的方差估计为：

（2）参数的极大似然估计

当总体分布类型已知时，极大似然估计是常用的估计方法。其基本思想是，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。

因此，未知参数的极大似然估计，就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大值的参数值：

在时间序列分析中，序列的总体分布通常是未知的。为了便于分析和计算，通常假设序列服从多元正态分布，它的联合密度函数是可导的。在求极大似然估计时，为了求导方便，常对似然函数取对数，然后对对数似然函数中的未知参数求偏导数，得到似然方程组。理论上，只要求解似然方程组即可得到未知参数的极大似然估计。但在实际上是使用计算机经过复杂的迭代算法求出未知参数的极大似然估计。

两种估计的比较：

矩估计的优点是不要求知道总体的分布，计算量小，估计思想简单直观。但缺点是只用到了样本自相关系数的信息，序列中的其他信息被忽略了，这导致估计精度一般较差。因此，它常被作为极大似然估计和最小二乘估计的迭代计算的初始值。

极大似然估计的优点是充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高，同时，还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等优良统计性质，是一种非常优良的参数估计方法。

（3）参数的最小二乘估计

使ARMA(p,q)模型的残差平方和达到最小的那组参数值：

通过计算机借助迭代方法求出。由于充分利用了序列的信息，该方法估计精度最高。

在实际运用中，最常用的是条件最小二乘估计，假定时间序列过去未观察到序列值等于序列均值，可得到残差的有限项表达式：

于是残差平方和达到最小的那组参数值为：

5. 模型和参数的显著性检验

ARMA(p,q)模型中，使用QLB统计量检验残差序列的自相关性，为了克服DW检验的有偏性，Durbin在1970年提出了修正的Durbin h统计量：

2其中，n为观察值序列的长度，??为延迟因变量系数的最小二乘估

计的方差。

参数的显著性检验是要检验每一个模型参数是否显著非零。若某个参数为零，模型中包含这个参数的乘积项就为零，可以简化模型。因此，该检验的是为了精简模型。

原假设H0：某未知参数βj=0；H1：βj≠0. 可以构造出检验未知参数显著性的t(n-m)检验统计量，其中m为参数的个数。

6. 模型优化