2.3 等差数列前n项和的性质

d?Sn?dSnd

a1－???n?是公差为的等差数列?. (3)＝n＋?2????2n2??2．求等差数列前n项和最值的方法

(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．

???an≥0，?an≤0，

(2)通项法：当a1>0，d<0，?时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，?时，Sn

???an＋1≤0?an＋1≥0

取得最小值．

3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.

一、选择题

1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( ) A．12 B．13 C．14 D．15 答案 B

解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2， ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.

2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( ) A．160 B．180 C．200 D．220 答案 B

解析 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，

由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.

3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案 B

解析 ∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn， ∴λ＝－1.

4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，则正整数k为( ) A．2 017 C．2 019 答案 C

解析 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 0112 011＋2 0162 008＋k

＝S2 016，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 019.

22

5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )

A．6 B．7 C．8 D．9 答案 B

解析 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an

B．2 018 D．2 020

??ak≥0，

＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有?

?ak＋1≤0，???22－3k≥0，1922

所以?即≤k≤.

33

?22－3?k＋1?≤0，?

因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.

6．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) 2n＋1n＋1n－1n＋1A. B. C. D.

nnn2n答案 B

?n＋1??a1＋a2n＋1?n?a2＋a2n?解析 S奇＝，S偶＝，

22

S奇n＋1

∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝. nS偶

7．已知等差数列{an}中，a1 009＝4，S2 018＝2 018，则S2 019等于( ) A．－2 019 C．－4 038 答案 C

解析 因为{an}是等差数列，所以S2 018＝1 009(a1＋a2 018)＝1 009(a1 009＋a1 010)＝2 018， 则a1 009＋a1 010＝2.又a1 009＝4，所以a1 010＝－2， 2 019?a1＋a2 019?

则S2 019＝＝2 019a1 010＝－4 038.

2

8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 答案 B

解析 ∵S6>S7，∴a7<0，

∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确． 11

又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确．

212

S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确．

2{Sn}中最大项为S6，④不正确． 故正确的是①②. 二、填空题

9．等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和S3m为90，则数列{an}的前2m项和S2m的值是 ． 答案 50

解析 由题易知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，

∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.

10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为 ． 答案 4或5

B．2 019 D．4 038

???a4＝a1＋3d＝1，?a1＝4，

解析 由?解得? 5×4

?d＝－1，???S5＝5a1＋2d＝10，

∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同时最大． ∴n＝4或5.

An7n＋45a7

11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N*)，则＋Bnn＋3b7a9

＝ . b11答案

46 3

解析 设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n>1，n∈N*时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bna7k?14×7＋38?17a9k?14×9＋38?41a7a9174146

＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝.

b72b11k?2×11＋2?6b7b11263k?2×7＋2?三、解答题

12．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值． 解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，

???a1＋2d＝5，?a1＝9，

得?解得? ?a1＋9d＝－9，???d＝－2，

所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*. n?n－1?(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.

2因为Sn＝－(n－5)2＋25， 所以当n＝5时，Sn取得最大值．

13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0， ∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，