2.3 等差数列前n项和的性质

用数形结合思想求解数列中的参数问题

典例 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ． 7

－1，－? 答案 ?8??

解析 方法一 由当且仅当n＝8时Sn最大，知a8＞0且a9<0，

??7＋7d＞0，7

于是?解得－1

8

??7＋8d<0，

7

－1，－?. 故d的取值范围为?8??dd

a1－?n. 方法二 Sn＝n2＋?2??2da1－?－?2?1a1?

对称轴x＝＝－，

d?2d?2?2?∵n＝8时，Sn取最大值． 1a1

∴7.5<－<8.5，

2d7

即－8<<－7，

d7

－1，－?. ∴d∈?8??

[素养评析] 利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷．等差数列

{an}(a1>0，d<0或a1<0，d>0)中，an＝dn＋(a1－d)，其图象为y＝dx＋(a1－d)上的一系列点，ddda1－?n，其图象为y＝x2要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Sn＝n2＋?2??22d

a1－?x上的一系列点．要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点. ＋?2??

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( A．13 B．35 C．49 D．63 答案 C

解析 S7?a1＋a7?7?a2＋a6?7?3＋11?7＝2＝2＝2

＝49.

) 2．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( ) A．11或12 C．13 答案 D

解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列． 又a1＝24，d＝－2，

n?n－1?

∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n

225625n－?2＋. ＝－?2??4

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B

解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 3205

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.

22考点 等差数列前n项和绝对值之和 题点 求等差数列前n项和绝对值之和 3205

解 a1＝S1＝－×12＋×1＝101.

22当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

32053205

－n2＋n?－?－?n－1?2＋?n－1?? ＝?2??22?2?＝－3n＋104. ∵n＝1也符合上式，

∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． 104由an＝－3n＋104≥0，得n≤.

3即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.

B．12 D．12或13

(1)当n≤34时，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an 3205

＝Sn＝－n2＋n；

22(2)当n≥35时，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn

32053205－×342＋×34?－?－n2＋n? ＝2?22??2??23205

＝n2－n＋3 502. 22

?－2n＋2n，n≤34且n∈N，故T＝?3205

n－?22n＋3 502，n≥35且n∈N.

2

*

n

2

*

3205

1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形 n?a1＋an?

(1)Sn＝；

2dd

a1－?n； (2)Sn＝n2＋?2??2