2.3 等差数列前n项和的性质

a11＋a100

＝90·＝－90，

2a11＋a100∴＝－1，

2

110×?a1＋a110?

∴S110＝＝－110.

2

题型二 求等差数列前n项和的最值问题

例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25， 9?9－1?17?17－1?

∴9×25＋d＝17×25＋d，

22解得d＝－2.

n?n－1?

∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n

2＝－(n－13)2＋169.

∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d＝－2. ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25>0，

??an＝－2n＋27≥0，由? ??an＋1＝－2?n＋1?＋27≤0，

?n≤132，得?1

n≥12?2，1

又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0.

由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∴a13>0，a14<0.

∴当n＝13时，Sn有最大值169.

方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn. ∵S9＝S17，

9＋17

∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，

2∴当n＝13时，Sn取得最大值169.

反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法

①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用

???an≥0，?an≤0，

或?来寻找． ?

???an＋1≤0?an＋1≥0

②运用二次函数求最值．

跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N*)． (2)方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，

n?n－1?Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，

2∴当n＝5时，Sn取得最大值．

方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列． 11

令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. 2∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.

∴当n＝5时，Sn取得最大值． 题型三 求数列{|an|}的前n项和

例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an

n?n－1?n?n－1?

＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；

22当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn

?13＋1?×4

＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.

2

2*??15n－2n，n≤4，n∈N，

∴Tn＝?

2*??2n－15n＋56，n≥5，n∈N.

反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．

跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.

解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S2＝16，S4＝24， 1

d＝16，?2a＋2×2

得?4×3

4a＋d＝24，?2

11

??2a1＋d＝16，即? ??2a1＋3d＝12，

??a1＝9，解得?

d＝－2.??

所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)． 1

由an≥0，解得n≤5，则

2

①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n) ＝n2－10n＋50，

2*??－n＋10n，n≤5且n∈N，

故Tn＝?

2*??n－10n＋50，n≥6且n∈N.