浅谈中值定理在解题中的应用

浅谈中值定理在解题中的应用

微分中值定理给出区间端点函数值与其内点导数值的关系．用它可以从f的导数的某些性质推出f的某些性质．如果f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)内存在一数?,使

f?(?)?f(b)?f(a)成立． b?a 中值定理虽然是就闭区间说的，但是不必拘于a?b，只要

f(x)在开区间（有限或无限）上处处有导数，在(a,b)内的任何两

点x1,x2都可以代替a,b，使x1,x2之间总有一个?,满足

f?(?)?f(x1)?f(x2)

x1?x2微分中值定理有三种常用形式，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理．

2 微分中值定理的应用

微分中值定理反映了函数增量与区间某个点导数值之间的关系，从而可用导数来研究可微函数值之间的相互关系及其变化性态．

应用中值定理主要有以下3个基本步骤：

1

（i）根据已给问题P的特点，确定或构造辅助函数f(x)（与

g(x)）及相应的区间[a,b]．

（ii）验证f(x)（与g(x)）在[a,b]上满足中值定理的条件．

（iii）应用中值定理及已知条件解答问题P．

其中步骤（i）是关键，通常也是难点所在；步骤（ii）则比较容易；步骤（iii）是对综合能力的考验．

微分中值定理的应用十分广泛，在此仅对几方面的应用进行归类介绍． 2.1 关于证明不等式

应用微分中值定理（含泰勒（Taylor）公式）及其导出的结论证明不等式,首先介绍泰勒公式的表达形式．

定理：若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有

即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2?? 2!f(n)(x?x0)n??o((x?x0)n)

n! (*)

定理中(*)式称为函数f在点x0处的泰勒（Taylor）公式．

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值．因此我们希望用多项式来近似表达函数．泰勒公式就是将满足某些条件的函数f(x)转化为多项式函数．证明某些与高阶导

2

数有关的命题时常用到泰勒公式．

微分中值定理证明不等式内容十分丰富，在此仅举两例． 例1 证明：当0?x?时，

2?x2x2?1?cosx??2．

)，可将f(x)?cosx利用

分析：构造函数f(x)?cosx，对任意x?(0,?2泰勒公式展开．再逐步构造不等式

?2x2x2?1?cosx??2的中间

部分1?cosx，根据已知条件0?x?，即可证明． 证明：令f(x)?cosx,由Taylor公式知

对?x?(0,?2)，存在??(0,x)，使

，

由0???x?，有0?x2

4?4，故

?2cos???2

即当0?x?时，

2?x2x2?1?cosx??2．

例2 已知0?a?b，证明不等式

b?abb?a?ln?． baa分析：本题可分为两种情况进行讨论．当0?a?b时，等号显

然成立.当0?a?b时，构造辅助函数f(x)?lnx，f(x)在

[a,b]上满足

Lagrange中值定理条件，即可证明.

证明：当0?a?b时，不等式中等号成立

即

b?abb?a?ln? baa当0?a?b时，令f(x)?lnx

3

则f(x)在区间[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件 故存在??(a,b)，使得

lnb(b?a)?lnb?lna? a?从而 综上

2.2 关于证明等式

b?abb?a?ln? baab?abb?a?ln?． baa 证明等式常利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理．证明时常常从要证的结论入手，写成

f(b)?f(a)??(?)的形式，并且构

g(b)?g(a)造相应的辅助函数，即可证得命题．

例3 设f(x)在[?1,1]上连续，在(?1,1)内可导，且f(?1)?f(0)?1，则???[?1,1]，???(?1,1)，使得f?(?)??．

f(1)?0，

?f(x)?1分析与解答：作辅助函数F(x)???x??f?(0) ?1?x?1,x?0，则F(x)在

x?0[?1,1]上连续，由于F(?1)?1，F(1)??1,故???[?1,1]，

?x?，使得F(x?)??．

由Lagrange

中值定理，???(0x?,(x??0或)??(x?,0)(x??0)，使得

F(x?)?f(x?)?1?f?(?) x?21 即证．

例4 设x1?0,x2?0，证明x1ex?x2ex?(1??)e?(x1?x2),其中?在x1与x2之间．

4