2014年人教A版必修四教案 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

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?3?),若sinα=,则2sin(α+)等于

524717A. B. C. D.4 5522.设α∈(0,答案：A 例2 已知sinα=

2?3?3,α∈(,π),cosβ=?,β∈(π,). 3224求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).

活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号. 解：由sinα=

2?,α∈(,π),得 32cosα=?1?sin2a=-?1?()=?又由cosβ=?232525，∴tanα=?. 3513?,β∈(π,). 3222sinβ=?1?cos?=?1?(?)??347, 4∴tanβ=

7.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 3=

2357?6?35)?(?)?×(?)-((?.

3434123257)×(?)-×(?)

3434∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(?=

35?27.

12?257?tan??tan??65?57?325?27753??∴tan(α+β)==. 1?tan?tan?1725715?2351?(?)?53 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应

用，训练学生的运算能力. 变式训练

引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识. 解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=

30， 67中鸿智业信息技术有限公司

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在Rt△ABD中，tan(45°+α)=

x?30tanα. 3030tan(45???)?30, 于是x=

tan?30?601,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈. 67672211?1?tan?2=3, tan(45°+α)=?11?tan?1?230?3∴x=-30=150(米).

12又∵sinα=

答：这座电视发射塔的高度约为150米. 例3 在△ABC中，sinA=

35(0°

诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件. 解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).

34且0°

1313又∵sinA=

∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =

3541263×+×=, 513513653124516×-×=. 51351365cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =

点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件. 变式训练

在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰非直角三角形 答案：C

思路2 例1 若sin(

3?5?3?3?+α)=,cos(-β)=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值. 4135444中鸿智业信息技术有限公司

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活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.

?3?3?3???<β<,∴<+α<π,-<-β<0,

4444243?5?3又已知sin(+α)=,cos(-β)=,

413543?12?4∴cos(+α)=?,sin(-β)=?.

41345?3??∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+α)-(-β)］

4243??3??=sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β)

44445312433=×-(?)×(?)=?. 13565135解：∵0<α<

本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力. 变式训练 已知α,β∈(求cos(α+

3??123,π),sin(α+β)=?,sin(β-)=, 45413?)的值. 43?3?12解：∵α,β∈(,π),sin(α+β)=?,sin(β-)=,

454133???3?∴<α+β<2π,<β-<. 22444?5∴cos(α+β)=,cos(β-)=?.

5413?? ∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］

44??=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)

444531256=×(?)+(?)×=?. 55136513例2 化简

sin(a??)sin(???)sin(??a)??.

sinasin?sin?sin?sin?sina 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先

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让学生自己独立地探究，然后进行讲评. 解：原式==

sinacos??cosasin?sin?cos??cos?sin?sin?cosa?cos?sina ??sinasin?sin?sin?sin?sinasinacos?sin??cos?sin?sin?sinasin?cos??sinacos?sin?sin?sin?cosa?cos?sin?sina??sinasin?sin?sinasin?sin?sin?sin?sina=

0

sin?sin?sina=0.

点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力. 变式训练 化简

sin(???)?2sin?cos?

2sin?sin??cos(???)sin?cos?cos?sin??2sin?cos?

2sin?sin??cos?cos??sin?sin?解：原式=

=

cos?sin??sin?cos?sin(???)??tan(???).

sin?sin??cos?cos?cos(???)课堂小结

1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.

2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.

设计感想

1.本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题,从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.

2.纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.

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