高中物理竞赛讲义第11部分 电磁感应

k ，试求解管内、外部空间的感生电场。

【解说】将B值变化等效为磁感线变密或变疏，并假定B线不能凭空产生和消失。在将B值增加等效为B线向“中心”会聚（运动）、B值减小等效为B线背离“中心”扩散（运动）。

（1）内部情形求解。设想一个以“中心”为圆心且垂直B线的圆形回路，半径为r ，根据运动的相对性，B线的会聚运动和导体向外“切割”B线是一样的。而且，导体的每一段切割的“速度”都相同，因此，电动势也相等。根据E = 场线是曲线，而且是闭合的）。

由ε总 = πr2E =

kr 2?U知，回路上各处的电场强度应相等（只不过电?d??B 和 E = 总 得 ?t2?r显然，撤去假想回路，此电场依然存在。

（2）外部情形求解。思路类同（1），只是外部“假想回路”的磁通量不随“回路”的半径增大而改变，即 φ=πR2B

由ε总 = πR2

??B 和 E′= 总 得 ?t2?rkR2E = （r＞R）

2r【答案】感生电场线是以螺线管轴心为圆心的同心圆，具体涡旋方向服从楞次定律。感生电场强度的大小规律可以用图10-12表达。

〖说明〗本题的解答中设置的是一个特殊的回 路，才会有“在此回路上感生电场大小恒定”的结

?论，如果设置其它回路，E = 总关系不可用，用我们现有的数学工具将不可解。当然，在启用

2?r高等数学工具后，是可以的出结论的，而且得出的结论和“特殊回路”的结论相同。

〖学员思考〗如果在螺线管内、外分别放置两段导体CD和EF ，它们都是以螺线管轴线为圆心、且圆心角为θ的弧形，试求这两段导体两端的电势差。

〖参考解答〗因为在弧线上的场强都是大小恒定的，故可用U = E〃l弧长求解

显然，UCD =

kk22

θr ，UEF = θR 。 22?B×（扇?t〖推论总结〗我们不难发现，UCD = 形OCD的面积）, UEF =

?B×（扇形OGH的面积）。?t 5 5

结论：感生电动势的大小可以这样计算，用磁感应强度的变化率乘以自磁场变化中心出发引向导体两端的曲边形（在磁场中）的“有效面积”。

注意，针对（圆心在磁场变化中心的）非弧形导体，用U = Ed行不通（启用ε= ?E?dl数学工具又不到位），但上面的“推论”则是可以照样使用的。

【应用】半径为R螺线管内充满匀强磁场，磁感应强度随时间的变化率

?B已知。求长为L的?t??直导体在图10-14中a、b、c三个位置的感应电动势大小分别是多少？

【解】在本题中，由于没有考查（以涡旋中心为圆心的）环形回路或弧形回路，所以需要用上面的“推论”解决问题。

显然，这里的“有效面积”分别为 Sa = 0

Sb = Sc =

1LL?R2?()2 2212LR·arctg 2l?RL?B4R2?L2 ；4?t【答】εa = 0 ；εb =

R2?BLεa = arctg 。

l?R2?t 二、电势、电流、能量和电量

1、只要感应电路闭合，将会形成感应电流，进而导致能量的转化。关于感应电路的电流、能量和电量的计算，可以借助《稳恒电流》一章中闭合电路欧姆定律的知识。但是，在处理什么是“外电路”、什么是“内电路”的问题上，常常需要不同寻常的眼光。我们这里分两种情形归纳——

如果发电是“动生”的，内电路就是（切割）运动部分；

如果发电是“感生”的，内、外电路很难分清，需要具体问题具体分析，并适当运用等效思想。（内电路中的电动势分布还可能不均匀。）

【例题6】如图10-15所示，均匀导体做成的半径为R的Φ形环，内套半径为R/2的无限长螺线管，其内部的均匀磁场随时间正比例地增大，B = kt ，试求导体环直径两端M、N的电势差UMN 。

【解说】将图10-15中的左、中、右三段导体分别标示为1、2、3 ，它们均为电源，电动势分别为——

ε1 =

1kR2（π－arctg2），ε42 =

ε3 =

1kR2 arctg2 4设导体单位长度电阻为λ，三“电源”的内阻分别为—— r1 = r3 =πλR ，r2 = 2λR

应用楞次定律判断电动势的方向后，不难得出它们的连接方式如图10-16所示。 然后，我们用戴维南定理解图10-16中的电流I ， 最后 UMN = Ir1 －ε1 =

?3r2r1??3r3r1??1r2r3= ?

r1r2?r2r3?r3r1 6

6

【答案】UMN =

14??kR2（arctg2 － ）。 42?2、受中学阶段数学工具的制约，在精确解不可求的情况下，将物理过程近似处理，或在解题过程

中做近似处理常常是必要的。

【例题7】在图10-17所示的装置中，重G = 0.50N、宽L = 20cm的П型导体置于水银槽中，空间存在区域很窄（恰好覆盖住导体）的、磁感应强度B = 2.0T的匀强磁场。现将开关K合上后，导体立即跳离水银槽，且跳起的最大高度h = 3.2cm ，重力加速度g = 10m/s2 ，忽略电源内阻。

（1）若通电时间t = 0.01s ，忽略导体加速过程产生的感应电动势，求通电过程流过导体的电量；

（2）如果回路外总电阻R = 0.10Ω，则导体重回水银槽瞬间，消耗在回路中的电功率是多少？

【解说】解第（1）问时，本来因为导体运动而形成的反电动势（感应电动势）是存在的，这里只能忽略；磁场又是仅仅覆盖住导体的，这就意味着导体棒跳离水银槽后可以认为是竖直上抛运动。

对上抛过程，v0 =2gh

对导体离开水银槽过程，（F－G）t = mv0

综合以上两式，即 BLq － Gt = m2gh，由此可解q 。

如果说第（1）问的近似处理重在过程的话，第（2）则在解题的规律运用上也不得不运用一些令人难以接受的“近似处理”——

P =

2(???感） R感

（起跳时不计感应电动势，进入水银槽，又没有忽略ε

感

）

其中 ε

= BLv0

7

7

ε则只有追寻到导体离开的过程，ε= IR =均值，而在P =

2(???感）qR （这里的问题就大了，I是电流对时间的平tR中的ε应该取方均根值〈即交流电的“有效值”〉才是严谨的！但是，在．．．．

这里求有效值几乎是不可能的，因此也就只能勉为其难了。）

【答案】（1）电量为0.1125C ；（2）瞬时电功率为20.88W 。

第三讲 自感、互感及其它

一、自感

1、自感现象：电路中因自身电流变化而引起感应电动势的现象。 2、自感电动势：自感现象中产生的电动势

ε

自

= －L

?I ?t? ，*对长直螺线管，L =μn2VIL为自感系数，简称自感或电感。对于N匝闭合回路，L = N（其中V为螺线管体积；若无铁芯，μ减小为μ0）。

值得注意的是，随着L 、

?I的增大，ε?t自

可以很大，但是自感电流却不会随之增大，定量的

计算（解微分方程）表明，自感电流只会在初始电流的基础上呈指数函数减小。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

【例题8】在图10-18所示的电路中，ε= 12V，r = 1.0Ω，R1 = 2.0Ω，R2 = 9.0Ω，R3 = 15Ω，L = 2.0H 。现让K先与A接通，然后迅速拨至B ，求自感线圈上可产生的最大自感电动势。

【解说】如果选择定义式求解，

?I不知，故这里只?t能根据自感电流的变化规律解题。

在不做特别说明的情况下，忽略L的直流电阻。K接A时，L上的稳恒电流I = 1.0A；K接B后，将L视为电动势为ε

自

的电源，i =

?自R2?R3

i取极大值I时（K接B后的初始时刻），ε自极大。 【答案】24V 。

二、互感与变压器

1、互感：两线圈靠近放置，当1中有变化电流时，2中会感应出电流，若2中的感应电流仍是变化的，则它又会激发磁场并在1中形成电磁感应，这种显现称为互感。 互感电动势：ε

12 =

－M

?I1 ，ε?t21 = －M

?I2 ，其中M为互感系数。 ?t2、变压器：两个（或多个）有互感耦合的静止线圈的组合叫变压器。

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