高中数学教案 - 等比数列 第二课时

课 题：3.4 等比数列（二）

教学目的：

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念.

3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点：等比中项的理解与应用

教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同

三人行，必有我师

一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比数列的通项公式:

an=q（q≠0） an?1an?a1?qn?1(a1?q?0)， an?am?qn?m(am?q?0)

3．｛an｝成等比数列?an?1?=q（n?N,q≠0） an “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

二、讲解新课：

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则

Gb??G2?ab?G??ab， aG反之，若G=ab,则

2Gb?，即a,G,b成等比数列 aG∴a,G,b成等比数列?G=ab（a·b≠0）

2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则aman?apak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：am?a1qm?1 an?a1qn?1 ap?a1q2p?1k?1 a k ?a1?q2am?an?a1qm?n?2 ，ap?ak?a1qp?k?2

则aman?apak

23．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0

三人行，必有我师

列;当q>1, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列;

三、例题讲解

例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

求证：

a?b?cab?bc?ca3,,abc 也成等比数列 33证明：由题设：b2=ac 得：

a?b?c3a?b?c33ab?b2?bcab?bc?ca2?abc??b??()3333 ∴

a?b?cab?bc?ca3,,abc 也成等比数列 33例2 已知?an??,bn?是项数相同的等比数列，求证?an?bn?是等比数列. 证明：设数列?an?的首项是a1，公比为q1;?bn?的首项为b1，公比为q2，那么数列?an?bn?的第n项与第n+1项分别为：

a1?q1n?1?b1?q2与a1?q1?b1?q2即为a1b1(q1q2)n?1与a1b1(q1q2)n

n?1nnan?1?bn?1a1b1(q1q2)n???q1q2.

an?bna1b1(q1q2)n?1它是一个与n无关的常数，所以?an?bn?是一个以q1q2为公比的等比数列.

例3 (1) 已知{an}是等比数列，且an?0,求a3?a5 a2a4?2a3a5?a4a6?25,

(2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列，a,1,c成等比数列，求

解：(1) ∵{an}是等比数列，

三人行，必有我师

22a?c 22a?c