2009级数学分析第1学期第2次测验解答2009-12

数学分析测验解答2009.12.20

一、填空题（每题4分，共16分） 1. 求极限lim1cosx(x?tanx)?= .

x?03ln(1?x3)2.写出y?xlnx在x?1处的四阶带Lagrange余项的Taylor展开式

1123!5 xlnx?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3?(x?1)4?(x?1)423!4!5!(1??(x?1))1123. 当n??时无穷小量sin2?(en?1)是的 3 阶无穷小量。

nn4. 函数f(x)?arctan12x???(??,??)在上的最大值为，最小值为。 441?x2二、选择题（每题4分，共16分）

1. 设f(x)在x0点的去心领域中可导。考虑下列断语：

I 若f(x)在x0点连续但不可导，则x0不可能为f'(x)的第一类可去间断点。 II 若f(x)在x0点不连续，则x0不可能为f'(x)的第一类间断点。

A I正确，而II不正确； B I和II都正确；

C I和II都不正确； D I不正确，而II正确. （ A ）

2232. 设函数f(x)二阶可导，且对于?x?R满足xf''(x)?x(f'(x))?1，?cosxf'(0)?0。则

A x?0必是f(x)的极大值点； B x?0必是f(x)的极小值点；

C x?0必是f(x)的拐点； D 不能判定x?0是f(x)的极值点还是拐点。

（ B ）

3. 设f(x)在[a,b]上为下凸函数，则下列命题正确的是

(A) f(x)在[a,b]上连续。 (B) f'?(x)在[a,b]上有定义。 （C）f(x)在[a,b]上有界。

(D) 以上结论均不正确。

（ C ） 4. 设f(x)在x0点二阶可导. 考虑下列断语：

I 若f''(x0)?0，则点（x0，f(x0))必定是曲线y?f(x)的拐点. II 若（x0，f(x0))是曲线y?f(x)的拐点, 则必有f''(x0)?0. (A) I正确，而II不正确. (B) I和II都正确.

(C) I和II都不正确. (D) I不正确，而II正确. （ D ）

三．(本题12分) 设f(x)在[0,1]上二次可导，且有f(0)?f(1)，|f??(x)|?M（0?x?1）， 则|f'(x)|?M（0?x?1）。 2解： f(0)?f(x)?f'(x)(0?x)?f''(?1)(0?x)2, ?1?(0,x)……………. (3’) 2f(1)?f(x)?f'(x)(1?x)?f''(?2)(1?x)2, ?2?(x,1)………………(6’) 2f''(?2)f''(?1)2(1?x)2?x…………………(9’) 222?(x1?x两式相减： f'(x)??M)| |f'(x?2(?(1x2?)2xM?)2M?)（0?x?1）………….(12’) 2

四、计算下列积分（每题8分，共32分） 1.

arctan2x?1?x2dx??arctan2xdarctanx.................4' 1?arctan3x?c.........................8'3

2.

ex?1?e2x?4dxex13. 4. ??e2x?4dx??e2x?4dx.....................2'x? ??dee2xe2x?4??4e?2x?1dx.........................4'1ex?2arctan2?18ln(4e?2x?1)?C.................8'?12?4?x2dxx?2tanu2sec2??u2?2secudu................................2'??1cosu(1?cosu)du??11cosu?1?cosudu ??secu?1u2sec22du..............................4'?ln|secu?tanu|?tanu2?C.................7'arctanx?ln|x?4?x2|?tan22?C.......8'?xcosx?sinxx2dx??cosxxdx??sinxx2dx..........................2'??cosxxdx??sinxd1x ??cosxxdx?sinxcosxx??xdx............6'?sinxx?C...........................................8'

五、（本题12分）设f(x)在(??,a]上二阶可导，f(a)?0，f'(a)?0且

f''(x)?0,?x?a。 证明：f(x)在(??,a)内有且只有一个零点。

证明：由已知函数f(x)在(??,a]上是上凸函数，从而有

f(x)?f'(a)(x?a)?f(a),?x?(??,a)......................................4'

由于f'(a)?0得到，

x???limf(x)???.....................................................6'

于是，存在x1?（??，a): f(x1)<0。在[x1,a]上应用零点存在定理知f(x)在

(x1,a)内至少有一个零点。……………………………………..............................9’ 因为f''(x)?0,?x?a，则f'(x)单调减少，故f'(x)?f'(a)?0，从而f(x)在(??,a)内单调增加，因此f(x)在(??,a)内有且只有一个零点。……………12’

六、（本题共12分）设f(x)在[a,b]上n?1阶可导，且满足

f(k)(a)?f(k)(b)?0(k?0,1,2,?,n)，

其中f(0)(a)?f(a)，f(0)(b)?f(b). 证明： 1） 存在??(a,b)使得f(?)?f'(?). 2） 存在??(a,b)使得f(?)?f(n?1)(?).

证明：1）因为f(x)?D[a,b],f(a)?f(b)?0，所以令G(x)?e?xf(x)。则有

G(x)?D[a,b],G(a)?G(b)?0，

??()'f?。由Rolle中值定理知，存在??(a,b)使得G'(?)?0，即f()……………5’ 2) 令F(x)??f(k)(x)，由于………………………………………………..8’

k?0nF(x)?D[a,b],F(a)?F(b)?0,F(x)?F'(x)?f(x)?f(n?1)(x)，

由1)知存在??(a,b)使得F(?)?F'(?)，即f(?)?f(n?1)(?)。…………………12’