高考数学中求轨迹方程的常见方法

高考数学中求轨迹方程的常见方法

一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例1 已知点

、

动点

满足

，则点

的轨迹为（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解：

. 由条件，

，

，整理得

，此即点

的轨迹

方程，所以的轨迹为抛物线，选D.

二、定义法

定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.

例2 已知等差数列，且

中，，

、

、，求顶点为轴，线段

的对边分别为、、，若的轨迹方程. 的中点为原

，

A O B x C y 依次构成

解：如右图，以直线点建立直角坐标系. 由题意，即

构成等差数列，，又

，

的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，

，

三、代入法

，故的轨迹方程为.

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点称相关点法、转移法.

例3 如图，从双曲线

的垂线，垂足为

解：设

，求线段，则

上一点

引直线

的坐标来表示，再代入

的轨迹方程，称之代入法，也

P Q N O y 的中点的轨迹方程. .

x 在直线上，

① 又得即.②

联解①②得.又点在双曲线上，，

化简整理得：，此即动点的轨迹方程.

四、几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.

例4 已知点交点

、

，过

、作两条互相垂直的直线和

，求和

的

的轨迹方程.

解：由平面几何知识可知，当

的中点

为直角三角形时，点

，半径为

的轨迹是以为直径，方程为

的圆.此圆的圆心即为

. 故的轨迹方程为.

五、参数法

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.

例5 过抛物线的中点

的轨迹方程.

，直线

的斜率为

，则直线

的斜率为

.直线OA的方

（

）的顶点

作两条互相垂直的弦

、

，求弦

解：设

程为，由解得，即，同理可得.

由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.

六、交轨法

求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.

例6 如右图，垂直于轴的直线交双曲线

于

y M P A1 O A2 N 的交点

的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

x 、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与

解：设及，又，可得

直线的方程为①；直线的方程为②.

①×②得③. 又，代入③得

，化简得

迹是以原点为圆心、为半径的圆；当

，此即点时，点

的轨迹方程. 当的轨迹是椭圆.

时，点的轨