步步高 江苏专用（理）2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第3讲

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x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，

5

122222s2甲＝[(87－90)＋(91－90)＋(90－90)＋(89－90)＋(93－90)]＝4， 5122222s2乙＝[(89－90)＋(90－90)＋(91－90)＋(88－90)＋(92－90)]＝2. 5考点三 概率与统计的综合问题

例3 在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率

分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高，并完成直方图； (2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

解 (1)由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[50,60)之间的频率为 0．008×10＝0.08.

2所以参赛总人数为＝25(人)．

0.08

分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4(人)， 4

分数在[80,90)之间的频率为＝0.16，

25

0.16

得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为＝0.016.

10完成直方图，如图．

(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的2个分数编号为5和6. 则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，

其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9个．

93故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝. 155

本题以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考

查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力．在求解(1)时，充分利用了茎叶图和频率分布直方图提供数据的互补性，即切实理解两统计方式提供数据的特征是求解本题的关键．

右面茎叶图记录了甲组四名同学、乙组六名同学的植树棵

数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示． (1)如果x＝7，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果x＝8，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数大于17的概率．

7＋7＋8＋10＋11＋11解 (1)平均数为＝9，

6

?7－9?2×2＋?8－9?2＋?10－9?2＋?11－9?2×2方差为＝3.

6

(2)由题知所有基本事件为(6,7)，(6,8)，(6,8)，(6,10)，(6,11)，(6,11)，(7,7)，(7,8)，(7,8)，(7,10)，(7,11)，(7,11)，(8,7)，(8,8)，(8,8)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,7)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共24个．

这两名同学的植树总棵数大于17的基本事件为(7,11)，(7,11)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共10个． 105

所以这两名同学的植树总棵数大于17的概率为＝.

2412

1． 三种抽样方法的异同点

2． 用样本估计总体

(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.

(2)众数、中位数及平均数的异同

众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布． 1n①总体期望的估计，计算样本平均值x＝∑x.

ni＝1i②总体方差(标准差)的估计： 1ns＝∑ (xi－x)2，标准差s＝s2， ＝ni1

2

方差(标准差)较小者较稳定.

1． 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中

持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈．若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为________． 答案 30

解析 由题意设全班学生为x人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别51111

占全班人数的、、，所以x(－)＝12，解得x＝54，所以全班持“喜欢”态度的人

993395

数为54×＝30.

9

2． 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)

分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．

答案 71

解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.

所以本次考试数学成绩的平均分为x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 故填71.

3． 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单

位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图． (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．

解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～180 cm之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中 158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182x甲＝ 10＝170，

159＋162＋165＋168＋170＋173＋176＋178＋179＋181x乙＝ 10＝171.1.

(2)甲班的样本方差为

1

[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(16810

－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.

(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A.

从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，