数学百大经典例题

(2)求对角面A1ACC1的面积．

分析：

(1)由题设易证AA1?B1D1，再只需证AA1?B1C，即证CC1?CD1．而由对称性知，若

CC1?B1C，则CC1?CD1，故不必证AA1?B1D1．

(2)关键在于求对角面的高．

证明：(1)∵B1C1?AD?2a，CC1?A1A?a，?B1C1C??A1AD?60?， ∴在?B1C1C中，由余弦定理，得B1C2?3a2． 再由勾股定理的逆定理，得C1C?B1C． 同理可证：C1C?CD1．∴C1C?平面B1D1C． 又C1C//A1A，∴AA1?平面B1D1C．

解：(2)∵AB?AD，∴平行四边形ABCD为菱形．AC为?BAD的平分线． 作A1O∴?平面AC于O，

由?A1AD??A1AB，知O?AC．作A1M?AB于M，连OM，则OM?AB． 在Rt?A1AM中，AM?A1A?cos60??在Rt?AOM中，AO?AM?sec30??1a， 2a． 3在Rt?A1AO中，A1O?A1A2?AO2?2a． 3又在?ABC中，由余弦定理，得AC?23a． ∴SA1ACC1?AC?A1O?22a2．

说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线．如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线

所在的直线．

另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上．

典型例题九

例9 如图所示，已知：直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90?，?BAC?30?，

M是CC1的中点． BC?1，AA1?6，

求证：AB1?A1M．

分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M点的位置都是确定的，故可通过计算求出

A1M与AB1两异面直线所成的角．

因为B1C1?C1C，B1C1?A1C1，所以B1C1?侧面AA1C1C．AC1是斜线AB1在平面

AA1C1C的射影，设AC1与A1M的交点为D，只需证得?MDC1?90?即可．

证明：∵B1C1?C1C，B1C1?A1C1，C1C与A1C1交于点C1， ∴B1C1?面AA1C1C． ∵M为CC1的中点，∴MC1?16C1C?． 22在Rt?A1C1B1中，?B1A1C1?30?， ∴A1B1?2B1C1?2，A1C1?3． 在Rt?A1C1M中，

?6?22?A1M?MC1?A1C1???2????

2?3?2?32． 2

在Rt?AA1?1C1中，ACAA1?A1C1?226?3?3．

22又?MDC1∽?A1DA且AA∶MC?2， 1∴MD?1131A1M??2?2， 332211C1D?AC1??3?1．

3323?1?在?MDC1中，MD2?C1D2??2??12?，

2?2??6?3??， C1M2???2?2??∴?C1DM?90?，A1M?AC1，∴A1M?AB1．

说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一．证明过程中的有关

计算要求快捷准确，不可忽视．本题证明两异面直线垂直，也可用异面直线所成的角，在侧面AA平移A1M或AB确定两异面直线所成的角，1C1C的一侧或上方一个与之全等的矩形，1，然后在有关三角形中通过计算可获得证明．

2典型例题十

例10 长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长． 分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可． 解：设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得：

?2(xy?yz?zx)?11??4(x?y?z)?24①②

由②得：x?y?z?6，从而由长方体对角线性质得：

l?x2?y2?z2?(x?y?z)2?2(xy?yz?zx)?62?11?5．

∴长方体一条对角线长为5．

说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力．在求解过程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出x?y?z，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性．

(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对

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图形作出整体处理．

典型例题十一

例11 如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?a，BC?b，BB1?c，并且

a?b?c?0．求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．

分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．

解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图．

三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：

(a?b)2?c2?a2?b2?c2?2ab a2?(b?c)2?a2?b2?c2?2bc (a?c)2?b2?a2?b2?c2?2ac

∵a?b?c?0， ∴ab?ab?bc?0．

故最短线路的长为a2?b2?c2?2bc．

说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC1?a2?b2?c2是最短线路．

(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．

典型例题十二