步步高 江苏专用（理）2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲

第1讲 几何证明选讲

【高考考情解读】 高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力．与圆有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点．高考中主要是应用定理解决有关求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目，题型以解答题形式出现，难度为中档，分值为10分．

1． 相似三角形的判定与性质

(1)判定定理

①两角对应相等的两个三角形相似； ②三边对应成比例的两个三角形相似；

③两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似． (2)性质定理

①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． ②相似三角形周长的比等于相似比． ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2． 直角三角形的射影定理及逆定理

(1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

(2)射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形． 3． 圆周角与圆心角定理

(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．

(3)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 4． 圆内接四边形的性质与判定定理

(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

5． 圆的切线的判定及性质

(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)圆的切线的性质定理

①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 6． 直线与圆位置关系的“四定理”

(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

考点一 相似三角形的判定与性质

例1 如右图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是

AB、BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若DB＝9，求BM.

(1)证明 ∵E是AB的中点，∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB.

又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形． ∴CB∥DE，

??∠DEM＝∠BFM，∴? ?∠EDM＝∠FBM，?

∴△EDM∽△FBM.

(2)解 ∵△EDM∽△FBM， ∴

DMDE

＝. BMBF

∵F是BC的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM， 1

∴BM＝DB＝3.

3

判定三角形相似的常用方法：

(1)利用三角形判定定理； (2)利用平行线分线段成比例定理； (3)利用与圆有关的“四定理”．

(1)(2013·陕西改编)如图，AB与CD相交于点E，

过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝ ∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长． 解 ∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，

PEPD

∴△PDE∽△PEA，∴＝，则PE2＝PA·PD，

PAPE又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3. ∴PE＝PA·PD＝6.

(2)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交 BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E. ①求证：AB2＝DE·BC；

②若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长． ①证明 ∵AD∥BC， ∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.

又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC. DCDE∴△CDE∽△BCD，∴＝. BCDC∴CD2＝DE·BC， 即AB2＝DE·BC.

AB262②解 由①知，DE＝＝＝4，

BC9∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC， ∴

PDDE4＝＝. PBBC9

又∵PB－PD＝9，

3681

∴PD＝，PB＝.

55

3681542

∴PC＝PD·PB＝×＝2. 555

2

54

∴PC＝.

5

考点二 圆的切割线定理的应用

例2 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，

D为⊙O上一点，AD，BC相交于点E. (1)若AD＝AC，求证：AP∥CD；

(2)若F为CE上一点使得∠EDF＝∠P，已知EF＝1，EB＝2， PB＝4，求PA的长．

(1)证明 ∵PA是⊙O的切线，AD是弦， ∴∠PAD＝∠ACD. ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠PAD＝∠ADC， ∴AP∥CD.

(2)解 ∵∠EDF＝∠P， 又∠DEF＝∠PEA， ∴△DEF∽△PEA， 有

EFED

＝， EAEP

即EF·EP＝EA·ED.

而AD，BC是⊙O的相交弦， ∴EC·EB＝EA·ED， 故EC·EB＝EF·EP，

EF·EP1×?2＋4?∴EC＝＝＝3.

EB2

由切割线定理有PA2＝PB·PC＝4×(3＋2＋4)＝36， ∴PA＝6.

在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常利用“四定理”及三角形

相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．

一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理中线段之间的关系的区别．