高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边. 3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.

二、四心与向量的结合

（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3OA?OB?OC?0???? ?O是?ABC?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0?y?y1?y2?y3?3?的重心. 证法2：如图

A?OA?OB?OC?OA?2OD?0 ?AO?2OD

OE?A、O、D三点共线，且O分AD为2：1 ?O是?ABC的重心

BDC 第 1 页 共 43 页

（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O为?ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0

?OB?AC

AEO同理OA?BC，OC?AB

?O为?ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是?ABC的内心

BDCaOA?bOB?cOC?0?O为?ABC的内心.

证明：?ABACAC方向上的单位向量， 、分别为AB、cb?ABAC?平分?BAC, cbABACbc?)，令?? cba?b?c?AO??(?AO?ABACbc?（) cba?b?c化简得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0 ?aOA?bOB?cOC?0

（4）OA?OB?OC?O为?ABC的外心。

典型例题：

例1、动点P满足OP?OA??(AB?AC)，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，

???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心

分析：如图所示?ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.

AD．垂心

第 2 页 共 43 页 EBDC?AB?AC?2AD ?OP?OA?2?AD

?OP?OA?AP

?AP?2?AD ?AP//AD

?点P的轨迹一定通过?ABC的重心，即选C.

例2、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ B ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：?ABACAC方向上的单位向量， 分别为AB、、ABACACAC平分?BAC,

?ABAB??点P的轨迹一定通过?ABC的内心，即选B.

例3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(ABABcosB?ACACcosC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.

A(ABABcosB?ACACcosC)?BC=AB?BCABcosB?AC?BCACcosC

E?ABBCcosB=ABcosB?ACBCcosCACcosC=?BC+BC=0

BDC?点P的轨迹一定通过?ABC的垂心，即选D.

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例4、已知点G是?ABC内任意一点,点 M是?ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过

?ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

uuuruuuruuuuruuurABAC (1)若存在常数?,满足MG?MA??(uuur?uuur)(??0),则点G可能通过?ABC的__________.

ABAC(2)若点D是?ABC的底边BC上的中点,满足GD?GB?GD?GC,则点G可能通过?ABC的__________.

????????????ABAC????0?,则点G可能通过?ABC的(3)若存在常数?,满足MG?MA????????ABsinBACsinC????__________.

????????ABAC????0?,则点G可能通过?ABC的(4)若存在常数?,满足MG?MA????????ABcosBACcosC????__________.

例5、若O点是?ABC的外心, H点是?ABC的垂心,

uuuruuuruuuruuur且OH?m(OA?OB?OC),求实数m的值.

练习1：

1．已知?ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA?PB?PC?0，若实数?满足：

AB?AC??AP，则?的值为（ ）

A．2 B．

3 C．3 D．6 22．若?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA?OB?OC?0，则OA?OB?( ) A．

11 B．0 C．1 D．? 22第 4 页 共 43 页