中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第3章课后习题详解

f(x?h)?2f(x)?f(x?h)f?(x?h)?f?(x?h)?lim

h?0h?0h22hf?(x?h)?f?(x)?f?(x)?f?(x?h)?limh?02h1f?(x?h)?f?(x)1f?(x?h)?f?(x)?lim?lim?f//(x)，∴结论成立。 2h?0h2h?0?h?(1?x)1x1x?0?[]x,★★★4.讨论函数f(x)??在点x?0处的连续性。 e??12x?0?e,证明：∵ lim知识点：函数在一点连续的概念。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。

(1?x)x1xf(x)?lim[]?e解：∵limx?0?x?0?e?e1?1lim2x?0?1?x111(1?x)xlimlnex?0?x?ex?0?limln(1?x)?xx2?e1?1lim1?xx?0?2x

?e?12?f(0)，∴f(x)在x?0处右连续；

?12又∵

x?0?limf(x)?e?f(0)，∴f(x)在x?0处左连续；

从而可知，

?(1?x)1x1x?0?[]x,在点x?0处连续。 f(x)??e??12x?0?e,★★★5.设

g(x)在x?0处二阶可导，且g(0)?0。试确定a的值使f(x)在x?0处可导，并求

f?(0)，其中

?g(x) ,x?0?f(x)??x 。

?x?0?a ,知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。 解：要使f(x)在x?0处可导，则必有f(x)在x?0处连续，

又∵g(x)在x?0处g(0)?0，∴a?limf(x)?limx?0x?0g(x)g(x)?g(0)?lim?g/(0)； x?0xx?0由导数定义，

g(x)?g?(0)f(x)?f(0)g(x)?g?(0)xf?(0)?lim ?limx?lim2x?0x?0x?0x?0x?0x?limx?0g?(x)?g?(0)1?g??(0)。

2x2内容概要

名称 3.3 泰勒公式 主要内容（3.3） 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?(n?1)!介于，称为拉格朗日型余项；或x0于x之间）Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1其中Rn(x)?x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 (n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n2）sinx?x?????(?1)?o(x2n?2) 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx3）cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!6!(2n)!n?1x2x3nx1?x)?x?????(?1)?o(xn?1) 4）ln(23n?11?1?x?x2???xn?o(xn) 1?xm(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nmx???x?o(xn) 6）(1?x)?1?mx?2!n!5）

习题3-3

★1.按(x?1)的幂展开多项式f(x)?x4?3x2?4。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求f(x)按(x?x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n?1阶的导

数在x?x0处的值，然后带代入公式即可。

解：f?(x)?4x3?6x，f?(1)?10；f??(x)?12x2?6，f??(1)?18；

f???(x)?24x，f???(1)?24；f(4)(x)?24；f(4)(1)?24；f(5)(x)?0；

将以上结果代入泰勒公式，得

f?(1)f??(1)f???(1)f(4)(1)23f(x)?f(1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)41!2!3!4!?8?10(x?1)?9(x?1)2?4(x?1)3?(x?1)4。

★★2.求函数

f(x)?x按(x?4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。 思路：同1。 解：f?(x)?12x，

111?3f?(4)?；f??(x)??x2，f??(4)??；

4324733?515?2(4)2???f???(x)?x，f(4)?(x)??x；将以上结果代入泰勒公式，得 ；f256816f?(4)f??(4)f???(4)f(4)(ξ)23f(x)?f(4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)4

1!2!3!4!111?2?(x?4)?(x?4)2?(x?4)3?4645121?x?x2f(x)?1?x?x25128ξ72(x?4)4，（ξ介于x与4之间）。

★★★3.把

在x?0点展开到含x4项，并求f(3)(0)。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论解：

1?1?x?x2???xn?o(xn)。 1?x

1?x?x21?x?x2?2x2x1f(x)???1??1?2x(1?x)1?x?x21?x?x21?x?x21?x3?1?2x(1?x)(1?x3?o(x3))?1?2x?2x2?2x4?o(x4)；

又由泰勒公式知x前的系数

★★4.求函数

3f???(0)?0，从而f???(0)?0。 3!f(x)?lnx按(x?2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论

n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1)。 ln(1?x)?x?23n?1方法一：（直接展开）f?(x)?f???(x)?2x3，

1111，f?(2)?；f??(x)??2，f??(2)??； x2x41(n?1)!(n)n?1(n?1)!f???(2)?；?,f(n)(x)?(?1)n?1f(2)?(?1)，； 4xn2n将以上结果代入泰勒公式，得

f?(2)f??(2)f???(2)f(4)(2)23lnx?f(2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)4?1!2!3!4!111f(n)(2)3(x?2)?? ?(x?2)n?o((x?2)n)?ln2?(x?2)?3(x?2)2?3223?2n!?(?1)n?11nn(x?2)?o((x?2))。 nn?2x?2x?21x?22)?ln2??() 22221x?231x?2nx?2n11?()???(?1)n?1()?o(())?ln2?(x?2)?3(x?2)2 32n2222113n?1nn?(x?2)???(?1)(x?2)?o((x?2))。 3n3?2n?21★★5.求函数f(x)?按(x?1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

x方法二：f(x)?lnx?ln(2?x?2)?ln2?ln(1?知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论