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素的组合数Cn,2求每一个组合中m个元素的全排列数An,根据分布记数原理，得到：An=Cn·Am.
m因此，CnmAnmAmmmmmm==
n(n?1)(n?2)???????(n?m?1)m!m(n、m∈N+,且m≤n)指导学生归纳出组合数公式的另外一种形式
? Cn=6.巩固训练
n!
m!(n?m)!① 师生共同完成排列与组合的对照表（见本节开始复习的表）。 ② 计算C7,C10(35,120).
③ 科教书第99页练习1、2（由学生完成）。 7归纳总结
组合与排列的相同之处都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，不同之处在于组合没有“顺序” 七、练习设计
教科书习题10。3第3、5题 八、板书设计
§10.2组合（1） 复习提问 新课讲解 举例 练习小结 例1 例2
九、教学反思
第四十五课时
一、课 题
§10.3 组合（2） 二、教学目标
1、深刻理解组合与排列的区别与联系，提高学生抽象思维及分析问题的能力。 2、掌握组合数公式，并能利用它们解决一些简单的应用问题 三、教学重、难点
1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 四、教学方法
启发式教学法 五、教学手段
多媒体课件． 六、教学过程 1． 复习回顾
（1） 排列的概念、组合的概念。 （2） 排列与组合的区别与联系。
*109* 47（3） 排列数公式、组合数公式。 2． 例题精讲
例1.教科书10.3例题2：求证Cn=
mm?1m?1C.
n?mn目的：让学生掌握组合数公式（证明略） 变式：求证Cn=
mnmCn?1.
mm?1m?1学生证明后,指出上式可改写为：m·Cn=n·Cn?1. 注：上式在化简有组合数的和式时有一定的作用，如：
1Cn+2Cn+3Cn······+9Cn=nCn?1+nCn?1+nCn?1+······+nCn?1 例2：计算①C6和C6；②C7—C6与C6；③C11+C11. 解：①C6=
2432345123901286?546?5?4?3=15，C6==15；
2?14?3?2?16?5327?6?536?5?4②C7—C6—=35—15=20，C6==20
3?2?12?13?2?111?10?9?811?10?9?8?745③C11+C11=+=792
4?3?2?15?4?3?2?12目的：为下节课学习组合数定额两个性质打好基础。
例3:①从数字1、2、5、7中任选2个，计算它们的和，试问可以得到多少个不同的和？ ②从数字1、2、5、7中任选2个，计算它们的差，试问可以得到多少个不同的差？
解：①因为加法满足交换律，所以第一问从数字1、2、5、7中任选2个数作和，与所选数字的顺序无关，属于组合问题，因此，结果为C4=6
②从数字1、2、5、7中任取2个作差，有减数与被减数之分，因此所取两个数与顺序有关，属于排列问题。因此结果为A4=4×3=12。
目的：帮助学生正确区分排列与组合。 例4:教科书例3。
分析：①以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C10=
22210?9=45。 2?1②由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即A10=10×9=90。
目的：培养学生如何把实际生活中的问题初步提炼为“数学模型”，从而解决问题。
例5：有不同的中文书7本，不同的英文书5本，从中选出2本书。（1）若其中一本为中文书，一本为英文书，问共有多少种不同的选法？（2）若不限条件，问有多少种不同的选法？
分析（1）：完成这件事必须分两步进行，第一步从7本不同的中文书选出1本，第二步从5本不同的英文书中取1本，因此要用分步计数原理。C7.C5=35
分析(2):所选的2本书可以2本中文书,也可以是两本英文书,还可1本是中文书,1本是英文书,因此完成这件事有三类办法,要采用分步计数原理,且选取的2本书与顺序无关,它属于组合问题. 解法(1):C7+C5+C7·C5=21+10+35=66
2211112*110* 解法(2):问题相当于12本不同的书中任意选取2本书,即为12个不同元素中取出2各不同元素的组合数,C12=答:一共66种不同的选法.
目的:训练学生合理应用分类(步)计数原理的能力,以及将实际问题转化为”数学模型”的能力. 3．课堂练习
（1） 计算 C3，3C3-2C2（答案：56，148）
885212?11=66
2?1（2） 求证：Cm=
nm?1m?1C n?1n?110（3） 圆上有10个点，过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？（C2=
90=45） 28（4） 空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作多少个平面？（C3=56） 4．课堂小节
（1） 由排列数和组合数的关系CmAm=Am进一步理解排列与组合的联系和区别；排列与顺序有关，而组合与顺序无关。
nmn（2） 解决实际问题首先看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类（步）计数原理。 七、练习设计
教科书习题10.3第2、3（2）、6（2）题。 八、板书设计
§10.2组合（2） 复习提问 新课讲解 举例 练习小结 例1 例2
九、教学反思
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第四十六课时
一、课 题
§10.3 组合（3） 二、教学目标
1． 掌握组合数的两个性质，并能运用它解决一些简单的应用问题。 2． 初步掌握“一一对应”与“归纳”的思想。
3． 进一步训练用组合数公式及分类（步）计数原理解决实际问题。 三、教学重、难点
1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 四、教学方法
启发式教学法 五、教学手段
多媒体课件． 六、教学过程 1 复习提问
（1） 组合数的计算公式的两种表示怎样？各有何用途？
（2） 用组合数公式计算C3=？，C7=？它们有何联系？（相等）
1010引入：这种相等并偶然，它正是本节课我们学习的组合数的性质之一。 板书：组合数性质 2．讲授新课 （1） 组合数性质一
① 提出问题：为什么C3=C7或C7=C1010-7呢？C64=C66-4吗？将其推广到Cnm=Cnn-m呢？
101010② 解决问题：引导学生分三个层次解决。
a. 用“取法”与“剩法”和组合概念解释：从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素。就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的，因此C107=C1010-7，为加深学生认识，可再举几个学生熟悉的例子。
b. 推广到一般：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后剩下（n-m）个元素。因此从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的（n-m）个元素的每一个组合一一对应，故Cnm=Cnn-m
c. 用组合数公式证明，（可引导学生选择公式后，由学生完成证明过程）证明见教科书 ③ 几点说明
a 这是组合数的性质一，当m＞
n2时，用Cnm=Cnn-m,可将组合数计算大大简化，如C20012000=C20012001-2000=C20011=2001
b 为了使公式在m=n时也成立，规定Cn0=1.(应向学生解释此规定的合理性) c 公式特征：两边下标同，上标之和等于一侧下标。 （2） 组合数性质二 ① 提出问题：教科书例4
分析：本题是一个典型的抽球问题，教学过程中应向学生讲清。口袋内7个白球虽然大小相同，但它们仍是不同的元素，为了便于理解可以看成它们编上了号码；白1、白2……白7,从而让学生理解(1)即是从8个不同元素中每次取出3个的组合,取法为C83种,对于(2)可启发学生:取出的3个球中含有1个黑球,则只考虑在7个白球中取2个,因而有C72种取法,对于(3)可让学生分析得出. 启发：三个问题结果有何关系呢？C83=C73+C72，你能对此作出合理解释吗？ ② 解决问题：（引导学生分三个层次解决）
a 用组合数定义解释：C83=C72+C73即从口袋中的8个球中所取出的3个球，可以分成两类：一类含一个黑球一类不含黑球，因此
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