现代控制理论复习题[1]

《现代控制理论》复习题1

一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号

里打√，反之打×。

（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定

是能控的。

（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

??Ax，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实（ √ ）4. 对系统x部是一致的。

（ √ ）5. 根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。

二、（15分）考虑由下式确定的系统： G(s)?s?3 试求其状态空间实现2s?3s?2的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为

?1??x1??0??x?01?????u?x???????2?3??x2??1?2????

?x1?y??31????x2?能观测标准形为

??x?0?2??x1??3?1?????u?x??????1?3??x2??1?2????

x??y??01??1??x2?对角标准形为

??x??10??x1??1?1??x???0?2??x???1?u???2????2????

?x?y??2?1??1??x2?

三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统

1??0?x???x?

?2?3??求其状态转移矩阵。?

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是?1??1,矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值?1??1,?2??2，它们是不相同的，故系统的?2??2的特征向量是 ?1??1???,??1?取变换矩阵 T???1?1??2???

??2??11??1， 则 ?2??1??T??????1?1???1?2??21?因此， D?TAT?1??从而，

??10??

0?2??eAt1??e?t?e?t0??1?T?T?????2t?0e??1?2??0???2e?t?e?2te?t?e?2t?????t?2t?e?t?2e?2t???2e?2e?1

0??21????e?2t???1?1?

解法2。拉普拉斯方法 由于

?s?1??s?31?11?1(sI?A)????det(sI?A)adj(sI?A)?s(s?3)?2??2s?2s?3????s?31???2111?

???(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)???s?1s?2s?1s?2???????2s?22?12????????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)s?1s?2s?1s?2????故 ?(t)?eAt?1?2e?t?e?2t?L[(sI?A)]???t?2t??2e?2e?1?1Ate?t?e?2t? ?t?2t??e?2e?解法3。凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 e系统矩阵的特征值是-1和-2，故 e?a0(t)I?a1(t)A ?a0(t)?a1(t)e?2t?a0(t)?2a1(t) a1(t)?e?t?e?2t

?t?t?2t解以上线性方程组，可得 a0(t)?2e?e因此， ?(t)?eAt?2e?t?e?2t?a0(t)I?a1(t)A???t?2t??2e?2e

e?t?e?2t? ?t?2t??e?2e???Ax?Bu,四、（15分）已知对象的状态空间模型xy?Cx,是完全能观的，请画出观

测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解 观测器设计的框图：

观测器方程：

~??A~xx?Bu?L(y?Cx)?

~?(A?LC)x?Bu?Ly其中：~x是观测器的维状态，L是一个n×p维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：

由于 det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?CL)] 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得A?CL具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。

五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。

解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

TTTTTTT??Ax在平衡点xe?0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称线性时不变系统x正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程AP?PA??Q有惟一的对称正定解P。 在具体问题分析中，可以选取Q = I。

T??x?01??x1?1?考虑二阶线性时不变系统： ??????x? ?x?1?1??2??2??原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 AP?PA??I 其中的未知对称矩阵 P??T?p11?p12p12? p22??p12??01???10??? ????p22???1?1??0?1?将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

?0?1??p11?1?1??p???12p12??p11???p22??p12进一步可得联立方程组

?2p12??1p11?p12?p22?0 2p12?2p22??1?p11从上式解出p11、p12和p22，从而可得矩阵 P???p12根据塞尔维斯特方法，可得 ?1?p12??3/21/2???? p22?1/21???5?0 43?02?2?detP?故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

六、（10分）已知被控系统的传递函数是

G(s)?10

(s?1)(s?2)试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j。 解 系统的状态空间模型是

1??0?0????xx?u?????2?3??1???y??100?x将控制器 u???k0k1?x 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程

?0???x??2?k01?x?

?3?k1??2该闭环系统的特征方程是 det(?I?Ac)???(3?k1)??(2?k0)

期望的闭环特征方程是 (??1?j)(??1?j)???2??2

22通过 ??(3?k1)??(2?k0)???2??2

2可得 3?k1?2从上式可解出 k1??12?k0?2 k0?0

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 u??01??

?x1?? x?2?