浅谈一元函数极限的求解方法

浅谈一元函数极限的求解方法

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内容摘要 ........................................................... 3 关键词 ............................................................. 3 Abstract ........................................................... 3 Key Words .......................................................... 3 0 引 言 .......................................................... 4 1 一元函数极限的基本概念 .......................................... 4

1.1一元函数极限的定义........................................... 4 1.2 一元函数极限的性质 .......................................... 5 2 求一元函数极限极限的方法 ......................................... 5

2.1 利用定义求极限 .............................................. 5 2.2 利用单侧极限求极限 .......................................... 7 2.3 利用双侧极限 ................................................ 7 2.4利用迫敛性定理求极限......................................... 8 2.5 利用两个重要极限 ........................................... 8 2.6 利用函数极限的四则运算求极限 ................................ 9 2.7 利用洛必达法则 ............................................ 10 2.8 用单调有界原理求极限 ....................................... 12 2.9 利用柯西准则求极限 ......................................... 12 2.10 利用等价无穷小量代替求极限 ................................ 13 2.11 利用函数连续性求极限 ...................................... 14 2.12 用导数定义求极限 .......................................... 14 2.13利用中值定理求极限......................................... 15 结束语 ............................................................ 17 参考文献 .......................................................... 17 致谢 .............................................................. 19

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内容摘要：本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运算法则、双侧极限、综合方法等9种常用求一元函数极限的方法,并结合实际问题对各个方法进行了详细的举例说明. 关键词：极限;方法;函数;泰勒公式

Abstract: This paper briefly introduces the basic concept of limit of binary and its properties are introduced in a systematic way using the definition, two important limits, infinitesimal, Taylor formula, L’Hospital Rule, forced convergence rule, four arithmetic operations, bilateral limit, the synthetic method of nine kinds of commonly used for a limit of binary function method, and the combined with the practical problems of various methods were detailed examples. Key Words: limit; method; function; Taylor formula

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0 引 言

高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的.极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具.反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以运算方法繁多.针对这种情况,本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法.

1 一元函数极限的基本概念

1.1一元函数极限的定义

(1) 函数f(x) 在点x?a的空心邻域U（a)有定义,A是一个确定的数,若

0对???0,存在??0,使得当0x?a??时,都有f(x)?A??,则称x趋向于a时极限存在,且以A为极限,记作limf(x)?A.

x?a(2) 函数f(x)是U(??)(或U(??)或U(?))上的函数,A是一个确定的数,若???0,总存在M?0,使得当x?M（或x??M或X?M）时,都有

f(x)?A??,则称函数f(x)当x趋于??（或??或?）时极限存在,并以A为极

限,记为limf(x)?A（或limf(x)?A或limf(x)?A.

x?+?x???x??00(a,?')（或U?(a,?')）(3) 若函数f(x)在U?内有定义,A是一个确定的常数,

若???0,总存在??0,使当a?x?a??(或a???x?a)时,都有f(x)?A??,则称函数f(x)在x趋于a?(或a?)时右（或左）极限存在,并以A为右（或左极限）,

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