三元之中定主元解答竞赛题

三元之中定主元解答竞赛题

安义人

初中数学竞赛中，有时会遇到一类与三个未知量有关的应用题.由于题设条件的限制，只能得到两个相关的一次方程构成的三元一次方程组．直接解答，难度较大.此时，应把三元中的任意两个选作主元，剩下的一个当作已知数，将得到的三元一次方程组转化为关于主元的二元一次方程组.这样进行，能取到意想不到的效果.现举例如下：

一、文具问题

例1（五羊杯初二数学竞赛题）已知买20支圆珠笔、3本作业本、2支铅笔共用了32元，买39支圆珠笔、5本作业本、3支铅笔共用了58元，则买5支圆珠笔、5本作业本、5支铅笔需要______元．

（A）20 （B）25 （C）30 （D）35

解析：设圆珠笔、作业本、铅笔的单价分别为x元、y元、z元，那么买5支圆珠笔、5本作业本、5支铅笔需要（5x＋5y＋5z）元．

因为买20支圆珠笔、3本作业本、2支铅笔共用了32元，买39支圆珠笔、5本作业本、3支铅笔共用了58元，

所以??20x?3y?2z?32,

39x?5y?3z?58.??3y?2z?32?20x,

?5y?3z?58?39x.以y、z为主元、将x看成已知数， 所以?解之，y＝20－18x，z＝－14＋17x．

这时，5x＋5y＋5z＝5x＋5（20－18x）＋5（－14＋17x）＝30．

所以买5支圆珠笔、5本作业本、5支铅笔需要30元． 二、考题问题

例2（聪明杯初二数学竞赛题）在一次解题比赛中，小聪、小明、小杯三人共解出了100道数学题，每人都解出了其中的60道题．将其中只有一人解出的题叫做难题，3人都解出

的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？多几道题？

解析：设难题有x道，容易题有y道，中档题有z道，要确定难题多还是容易题多，关键在于确定x与y的大小．

因为小聪、小明、小杯三人共解出了100道数学题，每人都解出了其中的60道题， 所以??x?y?z?100,

?x?3y?2z?60?3.以x、y为主元、将y看成已知数， 所以??x?y?100?z,

x?3y?180?2z.?11z，y＝40－z. 22解之，x＝60－

这时，x－y＝?60???1??1?z???40?z?＝20. 2??2?所以难题多，比容易题多20道.

三、抽水问题

例3（全国初中数学联赛题）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用2台抽水机抽水，40分钟恰可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟恰可抽完．如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机______台．

解析：设开始抽水前管涌出的水量为x立方米，每分钟管涌出的水量为y立方米，每台抽水机每分钟可抽水z立方米，那么要在10分钟抽完水，至少需要抽水机

x?10y台． 10z因为用2台抽水机抽水，40分钟恰可抽完；用4台抽水机抽水，16分钟恰可抽完，

?x?40y?2?40z,所以?

x?16y?4?16z.?以x、y为主元、将z看成已知数， 所以??x?40y?80z,

?x?16y?64z.1602z，y＝z． 33160x?10y20这时，＝（z＋z）÷10z＝6．

310z3解之，x＝

所以如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机6台．

四、奖品问题

例4（黄冈市初中数学竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品.若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品，问这笔钱全部用来购买计算器和《数学竞赛讲座》书，可各买多少？

解析：设1台NS计算器的价钱为x元，1本《数学竞赛讲座》书的价钱为y元，这笔钱为z元，那么这笔钱全部用来购买计算器可买

z台，全部用来购买《数学竞赛讲座》书x可买

z本. y因为若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品，

??100?x?3y??z,所以?

80x?5y?z.????以x、y为主元、将z看成已知数，

1?x?3y?z,??100 ??x?5y?1z.?80?解之，x＝

11z，y＝z. 160800这时，

zz＝160，＝800. xy所以这笔钱全部用来购买计算器可买160台，全部用来购买《数学竞赛讲座》书可买

800本.

五、吃草问题

例5（希望杯初二数学竞赛题）一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完.那么若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛．

（A）16 （B）18 （C）20 （D）22 解析：设这片牧场原有草量为x，每天长出的草量为y，每头牛平均每天吃的草量为z，那么若在120天里将草吃完，需要牛的数量为

x?120y头．

120z因为60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完， 所以??x?24y?60?24z,

?x?60y?30?60z.?x?24y?1440z,

x?60y?1800z.?x?120y1200z?120?10z＝＝20．

120z120z以x、y为主元、将z看成已知数， 所以?解之，x＝1200z，y＝10z． 这时，

所以若在120天里将草吃完，则需要20头牛.

六、电池问题

例6（江苏省初中数学竞赛题）有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可购买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型的电池，则能买______只.

解析：设A型电池1只价钱为x元，B型电池1只价钱为y元，C型电池1只z元，那么将这笔钱全部用来购买C型的电池，能买

4x?18y?16z只.

z因为这笔钱可购买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只，

所以??4x?18y?16z?2x?15y?24z,

?4x?18y?16z?6x?12y?20z.以x、y为主元，将z看成已知数， 所以??2x?3y?8z,

?2x?6y??4z.4z． 34x?18y?16z8z?24z?16z这时，＝＝48．

zz解之，x＝2z，y＝

所以将这笔钱全部用来购买C型的电池，能买48只.

本文2013年5月发表于数理天地（初中版）第5期