【数学】江苏省扬州中学2020届高三上学期11月考试 数学

3、现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．

（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；

（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为?，求?的概率分布及数学期望．

4、数列满足且

；

.

（1）用数学归纳法证明：

（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.

扬州中学高三数学月考 2019.11.1

试题Ⅰ

一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{?1,1} 2.

1??3? 3.1?i 4.m?3 5.充分必耍6.[2，3]7.-18.-1，9. -??2?22?33,因为AE?AF，所以kAN??，过原点所以3310.解析：.由题意，取M(0,2),kAM?N(3,?1)，所以kMN??3

11.

?33?，??-?33?

32→1→→3→3

12. －3 解析：由DC＝3AB得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO＝4AC＝41→1→?→1→?3→1→→→→

AE＝?AD＋3AB?＝4AD＋4AB.因为E是BD的中点，所以AE＝2AD＋2AB，所以AO·

?3→1→??1→1→?3→21→21→→391→→→→

AB＝2＋2＋2AD·AB＝8，所以AD·AB＝4，所以?4AD＋4AB?·?2AD＋2AB?＝8|AD|＋8|AB|＋2AD·

1→2→→1232→1→?→→→→?AD→22

AC·BD＝?＋3AB?·(AD－AB)＝|AD|－3|AB|－3AD·AB＝4－3×36－3×4＝－3.

222x2?y2?1x?ty??1?t?y?12txy?21?ty??13.解析：?0?t?1?

xy?2yxy?2y?x?2?y141x2?y2?12xy?2y2t1当取得最小值为：?，即t?时55?25

?x?2?y521?t2xy?2y514.[－2，0)∪[4，＋∞)

二、解答题（共6道题，计90分） 15、

16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（＋a）2＋（y－a）2＝4a（0＜a≤4）， 则圆心C的坐标是（－a，a），半径为2a. 直线l的方程化为：－y＋4＝0. 则圆心C到直线l的距离是?2a?42＝2|2－a|.

设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是： L＝2?2a2??2?22?a?2

2＝2?2a?12a?8＝2?2?a?3??10. ∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为210 （2）因为直线l与圆C相切，则有m?2a2＝2a，

即|m－2a|＝22a. 又点C在直线l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m. ∴2a－m＝22a，∴m＝

?2a?1－1.

?2∵0＜a≤4，∴0＜2a≤22. ∴m∈??1,8?42?

??

17. 解析： (1)对于曲线C1，因为曲线AOB的表达式为y＝1－cos ， 所以点B的坐标为(t，1－cos t)，

所以点O到AB的距离为1－cos t. 因为DC＝3－2t，

31≤t≤?； 所以h1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t－cos t＋4?2??

9

对于曲线C2，设C2：2＝2py，由题意得p＝，

8

94

故抛物线的方程为2＝y，即y＝2，

494

t，t2?， 所以点B的坐标为??9?

4

所以点O到AB的距离为t2.

9

因为DC＝3－2t，

34

1≤t≤?. 所以h2(t)＝t2－2t＋3?2??9

(2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，

3

1，?上单调递减， 所以h1(t)在??2?

所以当t＝1时，h1(t)取得最大值2－cos 1.

4?9?233

因为h2(t)＝?t－4?＋，1≤t≤，

942

13

所以当t＝1时，h2(t)取得最大值为.

9

13

因为2－cos 1≈1.46＞，

9

所以选用曲线C1，且当t＝1时，点O到点C的距离最大，最大值为2－cos 1.

a2?2c，即18. （1）因为F是AT的中点，所以?a?c(a?2c)(a?c)?0，又a、c?0，所以a?2c，所以e?（2）①过M,N作直线l的垂线，垂足分别为M1,N1，则

c1?； a2NFMF??e，又NF?2MF，故NN1?2MM1，故M是NT的NN1MM1中点，∴

S?MNF1S1?， 又F是AT中点，∴S?ANF?S?TNF，∴1?； S?TNF2S22x2y2②解法一：设F(c,0)，则椭圆方程为2?2?1，

4c3c由①知M是N,T的中点，不妨设M(x0,y0)，则N(2x0?4c,2y0)，