2020版高考数学大一轮复习 专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题教案(理)(含解析)新人教A版

＝63.

题型三 三角函数和解三角形的综合应用

例3 如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF

(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；

(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值． 解 (1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.

5

在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π

2，∠FEM＝θ，

所以EF＝22

sinθ，ME＝tanθ，

故AF＝BM＝EF－EM＝2sinθ－2

tanθ，

所以f(θ)＝1

2

(AF＋BE)×AB

＝1?22×??sinθ－2tanθ＋2sinθ???×2＝4sinθ－2tanθ， 由题意可知，AF

2

，

且当点E重合于点C时，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝π

4，所以函数f(θ)＝42?ππ42?sinθ－tanθ的定义域为??，??. (2)由(1)可知，

4??sin2

θ＋cos2

θ?f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝?

22??－22sinθθ 2cos22tan

θ2

1－tan

2

θ2

?＝2?

tanθ＋1??θ??1－?θ－tanθ?22? ?tan2????tan2?

?

6

＝3tan＋2

θ1tan

2

θ≥23tan

θ2

·1tan

2

θ＝23，

θ1

当且仅当3tan＝时，等号成立，

2θtan2

?ππ?θ?ππ?又θ∈?，?，∈?，?， ?42?2?84?

θ3θππ

故当tan＝，即＝，θ＝时，四边形ABEF的面积最小，

23263

243222342

此时BE＝＝，AF＝－＝，f(θ)＝－＝23.

sinθ3sinθtanθ3sinθtanθ4323

答 当BE，AF的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值

33为23平方米．

思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB－bcosC＝ccosB. (1)判断△ABC的形状；

121

(2)若f(x)＝cos2x－cosx＋，求f(A)的取值范围．

232解 (1)因为asinB－bcosC＝ccosB，

由正弦定理可得sinAsinB－sinBcosC＝sinCcosB. 即sinAsinB＝sinCcosB＋cosCsinB， 所以sin(C＋B)＝sinAsinB.

因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinA＝sinAsinB， π

又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝，

2所以△ABC为直角三角形． 121

(2)因为f(x)＝cos2x－cosx＋ 2321?212?2

＝cosx－cosx＝?cosx－?－，

3?93?1?21?所以f(A)＝?cosA－?－， 3?9?因为△ABC是直角三角形，

7

所以0

2

，且0

所以当cosA＝11

3时，f(A)有最小值－9

.

所以f(A)的取值范围是??11?－9，3???

.

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)???A>0，

>0，|φ|<π2，x∈R???

的部分图象如图．8

ω