2020版高考数学大一轮复习 专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题教案(理)(含解析)新人教A版

高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题

题型一 三角函数的图象和性质

例1(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx). (1)求f(x)的单调递增区间；

2

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向π?π?左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g??的值．

3?6?解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx) ＝23sinx－(1－2sinxcosx) ＝3(1－cos2x)＋sin2x－1 ＝sin2x－3cos2x＋3－1 π??＝2sin?2x－?＋3－1.

3??

πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

1212

π5π?π5π?????所以f(x)的单调递增区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)?或?kπ－，kπ＋??k∈Z??.

1212?1212?????π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x－?＋3－1， 3??

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

2

2

?π?得到y＝2sin?x－?＋3－1的图象，

3??

1

π

再把得到的图象向左平移个单位长度，

3得到y＝2sinx＋3－1的图象， 即g(x)＝2sinx＋3－1.

π?π?所以g??＝2sin＋3－1＝3. 6?6?

思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋

φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．

跟踪训练1已知函数f(x)＝5sinxcosx－53cos2

x＋532(其中x∈R)，求：

(1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间；

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

解 (1)因为f(x)＝55353

2sin2x－2(1＋cos2x)＋2 ＝5??1?2sin2x－32cos2x???＝5sin??π?2x－3???，

所以函数的最小正周期T＝

2π

2

＝π. (2)由2kπ－π2≤2x－ππ

3≤2kπ＋2(k∈Z)，

得kπ－π12≤x≤kπ＋5π

12

(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为??π5π?kπ－12，kπ＋12???(k∈Z)．

由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π

2(k∈Z)，

得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π

12

(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递减区间为??5π?kπ＋12，kπ＋11π?12??(k∈Z)．

(3)由2x－π3＝kπ＋π

2(k∈Z)，

得x＝

kπ5π

2＋12

(k∈Z)，

所以函数f(x)的对称轴方程为x＝

kπ5π

2＋12

(k∈Z)．

2

π

由2x－＝kπ(k∈Z)，

3得x＝

kππ

2

＋(k∈Z)， 6

所以函数f(x)的对称中心为?

?kπ＋π，0?(k∈Z)．

?6?2?

题型二 解三角形

例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.

(1)求角A和边长c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解 (1)∵sinA＋3cosA＝0， ∴tanA＝－3， 2π

又0

3

3

由余弦定理可得a＝b＋c－2bccosA，

222

?1?2

即28＝4＋c－2×2c×?－?，

?2?

即c＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4. (2)∵c＝a＋b－2abcosC， ∴16＝28＋4－2×27×2×cosC， ∴cosC＝

27，

2

2

2

2

AC2

∴CD＝＝＝7，

cosC2

7

1

∴CD＝BC，

2

113

∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝23，

2221

∴S△ABD＝S△ABC＝3.

2

思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 3

跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

7(1)求sinC的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3

解 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

7所以由正弦定理得sinC＝(2)因为a＝7， 3

所以c＝×7＝3.

7

由余弦定理a＝b＋c－2bccosA，得 1222

7＝b＋3－2b×3×，

2解得b＝8或b＝－5(舍去)．

113

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×

222

2

2

2

csinA3333

＝×＝. a7214

4