2019版高考数学一轮复习训练：第一部分基础与考点过关第八章立体几何初步学案

2019版高考数学一轮复习训练

N ① AB丄EF;

② AB与CM所成的角为60°; ③ EF与MN是异面直线； ④ MN// CD.

/ / Z r 以上结论中正确的是 _________ .(填序号)

答案：①③

解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，

AB丄EF, EF与MN是异面

直线，AB// CM MNL CD只有①③正确.

F

C

3. _____________________________ 在正方体 ABCDBiGD中，点E, F分别为棱 AA, CC的中点，则在空间中与三条直 线AiD, EF, CD都相交的直线有 条.

答案：无数

解析：在AiD, GD上任取一点 P, M,

过点P, M与直线EF作一个平面a ,因CD与平面a不平行，所以它们相交，设a Q CD =Q,连结

PQ贝U PQ与 EF必然相交，即PQ为所求直线?由点 P的任意性知，有无数条直 线与直线 AiD, EF, CD都相交.

4. 如图，在正方体 ABCD/BCD中，点E, F, G分别是棱 CC, BB及DD的中点.求证: / BGC=/ FDiE.

证明：???点E, F, G分别是正方体的棱 CC, BB, DD的中点，

??? CE平行且等于GD, BF平行且等于GD,则四边形CEDG与四边形BFDG均为平行四 边形.则 GC/DE, GB// DF.

??? / BGC与/ FDiE对应两边的方向分别相同，

? / BGC=Z FDiE.

5. 如图，在正方体 ABCDAGD中，对角线AiC与平面BDC交于点O, AC, BD交于点 M 点E为AB的中点，点F为AA的中点.求证：

⑴C i, O, M三点共线； (2) E , C, D, F四点共面； (3) CE , DF , DA三线共点.

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证明：(1) ?/ C, O, M�平面BDC,又C, O, ME平面 AACC,由公理3知，点 C, 0,

M在平面 BDC与平面 AACC的交线上，??? Ci, 0, M三点共线.

(2) ???点 E, F 分别是 AB AA 的中点，? EF // AiB. ?/ AiB/ CD,「. EF // CD. ? E , C, D, F 四点共面.

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(3) 由⑵ 可知，E, C, D, F 四点共面.??? EF//A1B, EF=2A1B,「? EF = qDC,： D1F, CE为相交直线，记交点为 P.则PED1F?平面ADDA1, P� CE?平面ADCB ? P E平面 ADDA1 门平面 ADCB= AD,「. CE, DF, DA三线共点.

1. 如图，在正方体 ABCDEFM中,①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线； ③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线?以上四个命题中，正确的命题是 _______.（填序号）

答案：②④

解析：观察图形，根据异面直线的定义可知，

BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直

线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①③错误，②④正确.即正确的命题 是②④.

2. 在空间四边形 ABCD中, AB= CD且AB与CD所成的角为30°,点M N分别是BC, AD的中点，求直线 AB和MN所成的角.

解：如图，取AC的中点P.连结PM PN,

1 1

则 PIM/ AB 且 PM= 2AB, PN// CD 且 PN= ?CD

所以/ MPN为直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）. 则/ MPN= 30° 或/ MPN= 150 ° . 若/ MPN= 30°,因为 PM/ AB

所以/ PMN是 AB与MN所成的角（或所成角的补角）.

又AB= CD所以PM= PN，则厶PMN是等腰三角形，所以/ PMN= 75 ° , 即直线AB与MN所成的角为75° .

若/ MPN= 150° ,易知△ PMN是等腰三角形，所以/ PMN= 15° , 即直线AB与MN所成的角为15° .

故直线AB和MN所成的角为75°或15° .

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3. 已知在棱长为 a的正方体 ABCDA1C1D1中，点 M N分别是棱 CD AD的中点.求证: （1） 四边形MNAG是梯形； （2） / DNM=ZD 1AC. 证明：（1）如图，连结AC

D M C

在厶ACD中，T 点M, N分别是 CD AD的中点, ??? MN是三角形ACD的中位线， 1

? MN// AC, MN= 2AC.

由正方体的性质得 AC//AQ, AC= A1C1, 1

? MN// AQ且 MN= gAC,即卩 MN^AQ, ?四边形MNAC是梯形.

(2)由(1)知 MIN/AQ.又T ND//A iD,

/ DNM与ZD 1A1C相等或互补.

而/ DNM与ZD 1A1C1均是直角三角形中的锐角，

? ?

Z DNIMkZD 1A1C1.

|疑难指J1///

1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给部分条件先确定一个平面，然后证明 其余的点或线都在平面内；二是将所有元素分成几个部分， 然后分别确定几个平面，再证这 些平面重合；三是采用反证法.

2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线 是分别经过这两条直线的两个平面的一条交线.

3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面 内不经过该点的直线是异面直线 );二是采用反证法.判定异面直线时通常采用排除法 (既不 相交也不平行)或判定定理.

4. 对于异面直线所成的角， 要注意角的范围是 0, -2以及两条直线垂直的定义， 法是解决此类问题的关键.

［备课札记］

平移

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第2课时直线与平面的位置

关系（1）（对应学生用书（文）109?110页、（理）111?112

页） 二 更温教材弗实取咄

ii前?考点引领氏 要点掘理自主学习 _____

考点靳知?

①要熟练掌握线面平行的定义、判定及性 质.②要注意线线关系、线面关系以及面面 关系的转化?对于直线与平面所成的角，点 到面的距离了解即可.

?考情佥析

墓取*》寻事事事衿少来寻事枣晦專少專*少少取导少■專寻审專寻卓少廉寻卓审再亩》来*寻除廉*夸少夸寻少来專少墓少寻

了解直线与平面的位置关系，了解线面平行 的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判 定定理和性质定理外，还能运用定义判断位 m ￥方

^置天糸.

■〕［回归教材］》\》

1. （必修2P35练习2改编）给出下列条件：①I // a ;②I与a至少有一个公共点； ③I与a至多有一个公共点.则能确定直线 I在平面a外的条件为 _____________ .（填序号）

答案：①③

解析：直线I在平面a外：I // a或直线I与平面a仅有一个交点.

2. （必修2P35练习7改编）在梯形ABCD中, AB// CD, AB?平面a , CD?平面a，则直线 CD与平面a内的直线的位置关系是 ___________ .

答案：平行或异面

解析：因为 AB// CD, AB?平面a , CD?平面a，所以CD//平面a，所以CD与平面a 内的直线可能平行，也可能异面.

3. （必修2P35练习4改编）在正六棱柱 ABCDEF1B1C1D1E1F1的表面中，与 A1F1平行的平面 是 _______ .

答案：平面 ABCDEF平面 CGDD

解析：在正六棱柱中，易知A1F1// AF, AF?平面ABCDEF且A1F1?平面 ABCDEF所以A1F1 //平面 ABCDEF同理，AF1 / CD, C1D1?平面 CGDD,且 AF?平面 CCDD,所以 AF1 //平面 CCDD.其他各面与 A1F1均不满足直线与平面平行的条件.故答案为平面 ABCDEF与平面 CGDD.

4. （原创）P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O, M为PB的中点，给 出下列四个命题：

①OM//平面 PCD②OM//平面 PBC③OM//平面 PDA ④OM//平面 PBA. 其中正确命题的个数是 ___________ . 答案：2

解析：由已知 OM/ PD,得OM/平面PCD且 OM/平面PAD.故正确的只有①③.

5. （必修2P41习题5改编）在四面体ABCD中，点M, N分别是△ ACD △ BCD的重心，则 四面体的四个面中与 MN平行的是 _________ .

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