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第一章 随机事件与概率
一、填空题
1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生
3）A、B、C不多于一个发生
2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B?A)＝ 3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(A?B)=0.7,则?? 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为
5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为
6.设随机事件A、B相互独立，且P (A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A?B)= 7.设随机事件A、B互不相容，且P (A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A?B)= 二、选择题
1. 设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)?P(A);
（C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A)
2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”
（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是
（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。 （B）若A，B相容，那么A与B也相容。
（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。
5. 若P(BA)?1，那么下列命题中正确的是
（A）A?B （B）B?A （C）A?B?? （D）P(A?B)?0 6.对于任意两个事件A与B,则必有P(A-B)= ( ).
A．P(A)-P(AB) B．P(A)-P(B)+P(AB) C．P(A)-P(B) D．P(A)+P(B) 三、计算题
1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
2． 一袋中装有8个球，其中3个红球，5个黑球，随机地抽取一个球，观察颜色后放回袋中，并且
再加进2个与所抽出的球具有相同颜色的球，然后再从袋中取出一球. （1）在已知第一次取出的是黑球的条件下，求第二次取出的仍是黑球的概率； （2）两次取出的均是黑球的概率； （3）第二次取到的是黑球的概率。
1
3．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一
件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？
4．有标号1～n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第
二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。
5．已知男子有5%是色盲患者，女子有2%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一
人，恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少？
四、证明题
设A，B是两个事件，满足P(BA)?P(BA)，证明事件A，B相互独立。
第二章 随机变量及其分布
一、 填空题
1）设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)k(k?1,2,???)则A=______________
?ax?b,0?x?12) 已知随机变量X的密度为f(x)??,且P{x?1/2}?5/8,则a?________ b?________
0,其它?3）设X～N(2,?2),且P{2?x?4}?0.3,则P{x?0}? _________
4) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为
80，则该射手的命中率为81_________
5）若随机变量?在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+?x+1=0有实根的概率是 二、 选择题
1) 设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}? A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。
2）设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)?f(?x)。那么对任意给定的a都有
aa1 A）f(?a)?1??f(x)dx B） F(?a)???f(x)dx
020 C）F(a)?F(?a) D） F(?a)?2F(a)?1 3）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 111 A）F(x)?1?2 B） F(x)??arctanx
x2??1?xx???(1?e),x?0 C）F(x)??2 D） F(x)??f(t)dt，其中?f(t)dt?1
?????0,x?0?4) 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是
A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).
?Ae?x,x??5）已知随机变量X的密度函数f(x)=?(?>0,A为常数)，则概率P{??X0）的值
x???0, A）与a无关，随?的增大而增大 B）与a无关，随?的增大而减小
C）与?无关，随a的增大而增大 D）与?无关，随a的增大而减小
?x0?x?A6）设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??, 则常数A?( ).
0其他?A．1 B．2 C．2 D．4
7）某人射击中靶的概率为p(0?p?1),则在第2次中靶之前已经失败3次的概率
2
为( ).
A．4p2(1?p)3 B．4p(1?p)3 C．10p2(1?p)3 D．p2(1?p)3
三、 解答题
1）从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回 2）设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae?x (???x???), 求 (1）系数A, (2) P{0?x?1}
(3) 分布函数F(x)。
3）对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。
4）设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。
5) 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B；
（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。 6)设离散型随机变量X分布律为 0 ?1 X 1 4 pk 0.1 0.2 a 0.4 （1）求常数a;（2）设Y?X2,求Y的分布律;
7)已知随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，求Y?3X?1的概率密度函数.
第三章 多维随机变量及其分布
一、填空题
341）设P{X?0,Y?0}?，P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max{X,Y}?0}? \\ 772)用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a?X?b,Y?c}? 3）用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X?a,Y?b}?
4）设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 二、选择题
Xi011）X1,X2独立,且分布率为 1/ 2 1/ 2 (i?1,2,那么下列结论正确的是 )P A）X1?X2Ｂ）P{X1?X2}?1C）P{X1?X2}?1Ｄ）以上都不正确 22)那么(X,Y)的联合分布为 2）若X～(?1,?12)，Y～(?2,?2 A） 二维正态，且??0 B）二维正态，且?不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对
3）设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是
A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|} C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是
4）下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。
3
????1?cosx,??x?,0?y?1?cosx,??x?,0?y? A）f(x,y)=? B) g(x,y)=?22222
0,0,??其他其他1?cosx,0?x??,0?y?1?cosx,0?x??,0?y? C) ?(x,y)=? D) h(x,y)=?2
0,0,其他??其他三、解答题
1） 把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，
求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。
xy2） 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。
?Ae?(3x?4y),x?0,y?03）设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=?,
其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 4） 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x， （1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。 5）上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互独立？ 6）在第4）题条件下，求f(yx)和f(xy)。
7）设随机变量(X,Y)分布律为
X Y 0 1 2 ?1 0.00 0.10 0.10 0 0.05 0.10 0.15 1 0.05 0.15 0.00 2 0.20 0.05 0.05 （1）求X和Y边缘分布律;（2）求U?max(X,Y)的分布律.
?4xy,0?x?1,0?y?18）设X,Y的联合概率密度函数为：f(x,y)??求（1）X,Y的边缘概率密度函数;
?0,其它第四章随机变量的数字特征
一、
填空题
221） 已知X~N(?2,0.4)，则E(X?3)＝ 2） 设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则D(3X?Y)? 3） 设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参
数为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 4） 设D(X)?25,D?Y??36,?xy?0.4，则D(X?Y)? 5） 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX?2?? 6）若已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n, p的值为 .
二、 选择题
1）掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A） 50 B） 100 C）120 D） 150 2） 设X1,X2,X3相互独立同服从参数??3的泊松分布，令Y?1(X1?X2?X3)，则E(Y2)? 3 A）1. B）9. C）10. D）6.
4
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