广东省广州市海珠区2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

【点睛】本题以新定义的形式对曲线在某点处的切线的几何意义进行全方位的考查，解题的关键是已知切线方程求出切点，并对初等函数的图像熟悉，属于中档题。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

1?x?1?t?5?17.已知直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半

2?y?t?5?轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??22sin?（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求|AB|的值． 【答案】（1）2x?y?2?0，x?y?2x?2y?0（2）22??????． ?4?65 5【解析】 【分析】

（1）在直线l的参数方程中消去参数t可得出直线l的普通方程，将曲线C的极坐标方程先利

??2?x2?y2??用两角和的正弦公式展开，再等式两边同时乘以，再代入??cos??x代入化简可得出曲

??sin??y?线C的直角坐标方程；

（2）解法一：将直线l的参数方程与曲线C的普通方程联立，得到关于t的二次方程，列出韦达定理，由弦长公式得AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2可求出AB；

解法二：计算圆心C到直线l的距离d，并求出圆C的半径r，利用勾股定理以及垂径定理得

出AB?2r2?d2可计算出AB；

解法三：将直线l的方程与曲线C的直角坐标方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，列出韦达定理，利用弦长公式AB?1?k2?x1?x2?1?k2?出AB（其中k为直线l的斜率）。

?x1?x2?2?4x1x2可计算1?x?1+t?5?t为参数?，消去参数t得y?2?x?1?， 【详解】（1）由直线l的参数方程???y?2t?5?即直线l普通方程为2x?y?2?0.

?对于曲线C,由??22sin??+??,即?=2cos??2sin?, ?4????2=2?cos??2?sin?, x2?y2??2,x??cos?,y??sin?，

?曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y?0.

1?x?1+t?5?22（2）解法一：将?代入C的直角坐标方程x?y?2x?2y?0，

?y?2t?5?整理得t?24t?1?0, 54,t1t2??1?0， 5?t1?t2??AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?65. 522（2）解法二：曲线C的标准方程为?x?1???y?1??曲线C是圆心为C?1,1?，半径r???22，

2的圆.

2?1?1?222???1?2设圆心C?1,1?到直线l:2x?y?2?0的距离为d,则d??15.

则AB?2r?d=222?2?265?1?. =???5?5?2(2) 解法三：联立??y?2x?2,消去y整理得5x2?14x?8?0, 22?x?y?2x?2y?0解得x1?2,x2?4. 5将x1?2,x2?42分别代入2x?y?2?0得y1?2,y2??, 55?4?52??. 5?22所以,直线l与圆C的两个交点是?2,2?，?，-所以,AB?2?x1?x2?2??y1?y2?24??2?65?. =?2????2??=55??5??【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查直线参数方程中t的几何意义，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，一般而言，可以采用以下三种解法：

（1）几何法：求出圆的半径r，以及圆心到直线的距离d，则直线截圆所得弦长为2r2?d2； （2）代数法：

?x?x0?tcos?①将直线的参数方程?（t为参数，?为倾斜角）与圆的普通方程联立，得到

?y?y0?tsin?关于t的二次方程，结合韦达定理与弦长公式t1?t2??t1?t2?2?4t1t2计算；

②将直线的普通方程与圆的普通方程联立，消去x或y，得到关于另外一个元的二次方程，利用弦长公式1?k?x1?x2?1?k?22?x1?x2?2?1??4x1x2或1????y1?y2

?k?2?1??1?????k?

2?y1?y2?2。 ?4y1y2来计算（其中k为直线的斜率）

18.已知函数f(x)=x?x． （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)在区间[?1,2]上的最大值和最小值．

3【答案】（1）单调递增区间为(??,?3333，单调递减区间为(?（2）)和（，??）,)．

3333最大值为6，,最小值为?【解析】 【分析】

23 9（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。 （2）由（1）可得函数f(x)在区间[?1,2]上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数f(x)在区间[?1,2]上的最大值和最小值。

32【详解】（1）函数f(x)的定义域为R，由f(x)=x?x得f?(x)=3x?1

令f?(x)?0得x??3， 3当x?(??,?33时，f?(x)>0； )和（，??）33当x?(?33,)时，f?(x)<0， 333333，单调递减区间(?)和（，??）,)．

3333因此，f(x)的单调递增区间为(??,?（2）由（1），列表得

x ?1 (?1,?3) 3?3 3(?33,) 333 30 (3,2) 32 f?(x) f(x) ? 单调递增 0 ? 单调递减 ? 单调递增 极大值 极小值

323323因为 f(?1)?0，f(?，f(，f(2)?6 )?)??3939