广东省广州市海珠区2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

断出正确选项。

t2法二：根据题意可将问题转化为f(t)?t在[0,1]上有解，分离参数得到a?g(t)?e?t?t，

t?[0,1]，利用导数研究g(t)的值域，即可得到参数a的范围。

【详解】法一：由题意可得，y0?31010sinx0?cosx0 1010?sin(x0??)?[?1,1]，

而由f(x)?ex?x?a可知y0?[0,1]， 当a?0时，f(x)＝ex?x为增函数， ∴y0?[0,1]时，f(y0)≥e0?1．

∴ 不存在y0?[0,1]使f(y0)?y0成立，故A，B错； 当a?e?1时，f(x)＝ex?x?e?1，

当y0?[0,1]时，只有y0?1时f(x)才有意义，而f(1)?0?1，故C错．故选D．

31010法二：显然，函数f(x)是增函数，f(x)?0，由题意可得，y0?sinx0?cosx0

1010?sin(x0??)?[?1,1]，而由f(x)?ex?x?a可知y0?[0,1]，

于是，问题转化为f(t)?t在[0,1]上有解．

由t?et?t?a，得t2?et?t?a，分离变量，得a?g(t)?e?t?t，t?[0,1]

t2因为g?(t)?e?2t?1?0，t?[0,1]，

t所以，函数g(t)在[0,1]上是增函数，于是有1?g(0)≤g(t)≤g(1)?e， 即a?[1,e]，应选D．

【点睛】本题是一个函数综合题，方法一的切入点是观察四个选项中与不同，结合排除法以及函数性质判断出正确选项，方法二是把问题转化为函数的最值问题，利用导数进行研究，属于中档题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.

13.已知i为虚数单位，复数z?2?ai(a?R)在复平面内对应的点在直线x?3y?1?0上，则z的共轭复数z?________． 【答案】2?i 【解析】 【分析】

把复数z?2?ai(a?R)对应的点的坐标代入直线x?3y?1?0上，由此得到复数z，即可求出答案

【详解】复数z?2?ai(a?R)在复平面内对应的点为(2,a)，代入直线x?3y?1?0，可得

2?3a?1?0，解得：a?1，故复数z?2?i，所以复数z的共轭复数z?2?i；

故答案为2?i

【点睛】本题主要考查复数对应点的坐标以及与共轭复数的关系，属于基础题。

14.记曲线y?x与直线x?2，y?0所围成封闭图形的面积为S，则S?________．

【答案】

42 3【解析】 【分析】 由曲线y?x与直线x?2联立，求出交点，以确定定积分中x的取值范围，最后根据定积

分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。

??y?x【详解】联立? ，得到交点为(2,2)，故曲线y?x与直线x?2，y?0所围成

x?2??2封闭图形的面积S??023xdx?x232023242??22?0??2?2?； 333故答案为42 3【点睛】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。

15.直角三角形ABC中，两直角边分别为a、b，则△ABC外接圆面积为?(a?b)．类比上述结论，若在三棱锥ABCD中，DA、DB、DC两两互相垂直且长度分别为a,b,c，则其外接球的表面积为________． 【答案】?(a?b?c) 【解析】 【分析】

直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体体对角线长的一半。

【详解】由类比推理可知：以两两垂直的三条侧棱为棱，构造棱长分别为a,b,c的长方体，其

2221422a2?b2?c2体对角线a?b?c就是该三棱锥的外接球直径，则半径R?．所以表面积

2222?a2?b2?c24???2?? ???（a2?b2?c2）??2【点睛】本题考查类比推理的思想以及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题。

16.若曲线C与直线l满足：①l与C在某点P处相切；②曲线C在P附近位于直线l的异侧，则称曲线C与直线l“切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）

3x2①y?x与y?0 ②y?(x?2)与x??2 ③y?e与y?x?1

④y?sinx与y?x ⑤y?tanx与y?x 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】

理解新定义的意义，借助导数的几何意义逐一进行判断推理，即可得到答案。

3【详解】对于①，y??3x,y?|x?0?0，所以l:y?0是曲线C:y?x在点P(0,0) 处的切线，

2画图可知曲线C:y?x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；

3

对于②，因为y??2(x?2),y?|x??2?0，所以l:x??2不是曲线C：y?(x?2)2在点P??2,0?处的切线，②错误；

x对于③，y??e,y?|x?0?e?1，在P(0,1)的切线为y?x?1，画图可知曲线C在点P(0,1)附

0近位于直线l的同侧，③错误；

对于④，y??cosx,y?|x?0?1，在点P?0,0?处的切线为l:y?x，画图可知曲线C：y?sinx在点P?0,0?附近位于直线l的两侧，④正确；

对于⑤，y??11?y|??1，，在点P?0,0?处的切线为l:y?x，图可知曲线C：x?022cosxcos0y?tanx在点P?0,0?附近位于直线l的两侧，⑤正确．