尖子生培优计划之向量专题

向量专题

考点一、向量的基本定理的应用

1、已知?ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP??AB，AQ?(1??)AC，??R，若BQ?CP??3，则?= 2（A）

1?21?10?3?221 （B） （C） （D）

2222????????o2、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

????????????????若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y

的最大值是________.

3、如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且

B OP?xOA?yOB，则实数对（x,y）可以是

1322A．(,) B. (?,)

44331317 C. (?,) D. (?,)

4455M O A

图1 4、如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边

????????????1界)运动,且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是 ;当x??时,y的取值范围

2是 .

P M B 。5、已知在?ABC中AB?3,?A?60，

?A的平分线AD交边BC于点D，

且AD?AC??AB(??R)，则AD的长为

O （A）23 （B）3 （C）1 （D）3 考点二、向量的数量积运算及其应用

?????1???3????图2 A 1、已知平面向量?,?(??0,???)满足??1，且?与???的夹角为120°，则?的取值范围是__________________ .

????????2、设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动点,AP??AB,若

????????????????OP?AB?PA?PB,则实数?的取值范围是

(A)

212221 (D) 1? ???1 (C) ???1????1????1 (B) 1?222222 B．直角三角形 C．钝角三角形

D．不能确定

????????????3、若?k?R，|BA?kBC|?|CA|恒成立，则△ABC的形状一定是 （ ）

A．锐角三角形

4、已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|?13，c?a?3，c?b?4。则对于任意实数t1,t2，|c?t1a?t2b|的最小值是（ ）

（A） 5 （B）7 （C） 12 （D）13

5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1，A2，A3，A4，A5，A6六个点．则????????????????????????????????????????????????????????????????????A1A2?A2A3?A2A3?A3A4?A3A??A4A?5A5A?A5A?6A6?A1A6?A1＝A A ． 4A4A56考点三：平面向量中的新定义

01、在平面斜坐标中，?xoy?45，斜坐标定义为OP?x0e1?y0e2（其中e1,e2分别为

斜坐标系的x轴,y轴的单位向量），则点P的坐标为(x0,y0)。若F1(?1,0),F2(1,0),且动点

????????M(x,y)满足MF1?MF2,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为 2、定义域为[a,b]的函数y?f(x)图像的两个端点为A、B，M（x,y）是f(x)图象上任意一

????????????点，其中x??a?(1??)b?[a,b],已知向量ON??OA?(1??)OB，若不等式?????1|MN|?k恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”。若函数y?x?在[1，

x2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

A．[0,??)

B．[

1,??) 12C．[?2,??) D．[?2,??)

3232考点四：与三角形“四心”相关的向量问题

1、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

????????????????ABAC?OP?OA??(????????),??[0,??), 则动点P的轨迹一定通过△|AB|sinB|AC|sinCABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 2、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

????????????????ABAC?OP?OA??(????????),??[0,??), 则动点P的轨迹一定通过△|AB|cosB|AC|cosCABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 3、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

????????????????????OB?OCABAC?OP???(????????), ??[0,??), 则动点P的轨迹一

2|AB|cosB|AC|cosC定通过△ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

4、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足

????1????????????OP?[(1??)OA?(1??)OB?(1?2?)OC](??R,??0)，则P的轨迹一定通

3过△ABC的( )A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点

????????????5、已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOA?bOB?cOC= 0，则O点是△ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

????????????????aPA?bPB?cPC6、已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO?(其中P是△

a?b?cABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的( )

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

7、△ABC中，AB=1, BC =6, CA = 2, △ABC的外接圆的圆心为O，若

????????????AO??AB??AC，求实数?,?的值.

考点五、与三角形面积相关的向量问题

命题：平面内点O是△ABC的重心，则有S?OAB:S?OAC:S?OBC?1:1:1 .

????????????1、已知点O是△ABC内一点，OA?2OB?3OC= 0, 则：

(1) △AOB与△AOC的面积之比为___________________； (2) △ABC与△AOC的面积之比为___________________； (3) △ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________.

2、已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过

△ABC的中心G，设?MGA＝?（

?3???2?） 3（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为?的函数 （2）求y＝

11的最大值与最小值 ＋S12S22考点六、判断三角形的形状

1、已知a, b, c分别为△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边，G为△ABC的重心，且

????????????a?GA?b?GB?c?GC= 0, 则△ABC为( )

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

????????????????????2、已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OB?OC|?|OB?OC?2OA|，则△ABC一定是( )

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

3、如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则

A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形

C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形

4、在△ABC中，若AB?AB?AC?BA?BC?CA?CB,则△ABC是（ ） A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 考点七、向量在平面几何中的应用

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC

的夹角?取何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值.

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