2019年山东省滨州市中考数学试卷(a卷)以及解析版

（1）求证：直线DF是O的切线； （2）求证：BC2?4CFAC；

（3）若O的半径为4，?CDF?15?，求阴影部分的面积．

【分析】（1）如图所示，连接OD，证明?CDF??ODB?90?，即可求解； （2）证明?CFD∽?CDA，则CD2?CFAC，即BC2?4CFAC； （3）S阴影部分?S扇形OAE?S?OAE即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，连接OD，

AB?AC，??ABC??C，而OB?OD，??ODB??ABC??C， DF?AC，??CDF??C?90?，??CDF??ODB?90?， ??ODF?90?，

?直线DF是

O的切线；

（2）连接AD，则AD?BC，则AB?AC， 则DB?DC?1BC， 2?CDF??C?90?，?C??DAC?90?，??CDF??DCA，

而?DFC??ADC?90?，??CFD∽?CDA， ?CD2?CFAC，即BC2?4CFAC；

（3）连接OE，

?CDF?15?，?C?75?，??OAE?30???OEA， ??AOE?120?，

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S?OAE?11AE?OEsin?OEA??2?OE?cos?OEA?OEsin?OEA?43， 22120?16????42?43??43． 360?3S阴影部分?S扇形OAE?S?OAE?【点评】本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大．

1126．（14分）如图①，抛物线y??x2?x?4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将

82直线AB绕点A逆时针旋转90?，所得直线与x轴交于点D． （1）求直线AD的函数解析式；

（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为52时，求sin?PAD的值． 4

11【分析】（1）根据抛物线y??x2?x?4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，可以求

82得点A、B、C的坐标，再根据将直线AB绕点A逆时针旋转90?，所得直线与x轴交于点

D，可以求得点D的坐标．从而可以求得直线AD的函数解析式；

（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；

②根据①中关系式和题意，可以求得点P对应的坐标，从而可以求得sin?PAD的值． 【解答】解：（1）当x?0时，y?4，则点A的坐标为(0,4)，

11当y?0时，0??x2?x?4，解得，x1??4，x2?8，则点B的坐标为(?4,0)，点C的

82坐标为(8,0)， ?OA?OB?4， ??OBA??OAB?45?，

将直线AB绕点A逆时针旋转90?得到直线AD，

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??BAD?90?， ?OAD?45?， ??ODA?45?， ?OA?OD，

?点D的坐标为(4,0)，

设直线AD的函数解析式为y?kx?b， ?b?4?k??1，得?， ?4k?b?0b?4??即直线AD的函数解析式为y??x?4；

（2）作PN?x轴交直线AD于点N，如右图①所示， 11设点P的坐标为(t,?t2?t?4)，则点N的坐标为(t,?t?4)，

821113?PN?(?t2?t?4)?(?t?4)??t2?t，

8282?PN?x轴，

?PN//y轴，

??OAD??PNH?45?，

作PH?AD于点H，则?PHN?90?， ?PH?221232232292， PN?(?t?t)??t?t??(t?6)2?2282164164925，此时点P的坐标为(6,)， 42?当t?6时，PH取得最大值925即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是(6,)，最大距离是；

42②当点P到直线AD的距离为则?223252， t?t?164452时，如右图②所示， 4解得，t1?2，t2?10，

97则P的坐标为，的坐标为P(2,)(10,?)， 1222917922当P的坐标为，则， PA?(2?0)?(?4)?(2,)11222第23页（共24页）

524?534； ?sin?P1AD?341727257当P2的坐标为(10,?)，则P2A?(10?0)2?(??4)2?，

222522； ?sin?P2AD?4?25102由上可得，sin?PAD的值是5342或． 3410

【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．

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