河北省衡水中学2020届高三第一次联合考试数学文科试题 Word版含解析

知识，考查运算求解能力，属于中档题．

x2y212.已知椭圆C：??1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点．点

1612uuuruuuuruuuruuuurM，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足MP?MF，NP?NF2?0，则|MN|的最大1?0值为（ ） A. 6 【答案】A 【解析】 【分析】

设PF1，PF2的中点分别为C，D，则M，N在分别以C，D为圆心的圆上，直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外）分别为M，N时，|MN|的最大，可得|MN|的最大值为

PF1?PF2?CD?a?c即可． 2B. 8 C. 12 D. 14

【详解】解：设PF1，PF2的中点分别为C，D，

QMPgMF1?0，NPgNF2?0，则M，N在分别以C，D为圆心的圆上，

∴直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外）分别为M，N时，|MN|最大， ∴|MN|的最大值为故选：A．

【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．

PF1?PF2?CD?a?c?4?2?6， 2uuuruuuuruuuruuuur二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

vrrrrrrvva?b?3b，则a与b的夹角为__________． 13.已知非零向量a,b满足|a|?|b|，

【答案】120? 【解析】

rrv2v2vv21vvv2vv2由题意，a?b?2a?b?3b，得?2bcosa,b?b，所以cosa,b??，

2所以夹角是120?．

14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．

【答案】4． 【解析】 【分析】

由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥P?ABCD，其中，PO?底面ABCD，ABCD是正方形，边长为3，PO?2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长． 【详解】解：由题意几何体的直观图如图，

其中，PO?底面ABCD，ABCD是正方形， 边长为3，PO?2，AO?1AC， 2所以PC?4?(22)2?4，PB?PD?22?22?12?3， 所以最长的棱长为4， 故答案为：4．

【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基

础题．

15.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且

?a?2a??bcosB??b2?c2，则b+c的取值范围为_____． ?2?【答案】(42,??) 【解析】 【分析】

根据已知等式和余弦定理，可推出cosB?cosC，即B?C，b?c，又知a?4，所以b?c?4；因为三角形ABC是锐角三角形，所以角A为锐角，cosA?(0,1)；由

a2?b2?c2?2bccosA，设b?c?x，用cosA表示出x，并求出x的取值范围，进而得

b?c?2x的取值范围．

a22【详解】解：Qa?4，且2a(?bcosB)?b?c，

2?a2?2abcosB?b2?c2，即a2?b2?c2?2abcosB，

又Q由余弦定理可得a2?b2?c2?2abcosC，

?可得2abcosB?2abcosC，即cosB?cosC，

?B?C，b?c，又A为锐角，?cosA?(0,1)， Qa?4，?b?c?4，

设b?c?x，由余弦定理知a2?b2?c2?2bccosA，

?16?2x2?2x2cosA?2x2g(1?cosA)，

?x2?8?8，?x?22，2x?42，

1?cosA故b?c?42， 故答案为：(42,??)．

【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题． 16.已知曲线y＝|lnx|与直线y＝m有两个不同的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1＜x2），设l2分别是曲线y＝|lnx|在点P1，P2处的切线，l2分别与y轴相交于点A，B．直线l1，且l1，△P2AB为等边三角形，则实数m的值为_____．

【答案】ln3 【解析】 【分析】

由对数的运算性质可得x1x2?1，0?x1?1?x2，分别求得y?lnx和y??lnx的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及A，B的坐标，可得等边三角形的边长，可得x2，进而得到m的值．

【详解】解：由曲线y?|lnx|与直线y?m有两个不同的交点，可得-lnx1=lnx2，即有

x1x2?1，0?x1?1?x2，

1由y??lnx的导数为y???，可得切线l1的斜率为?x1，切线的方程为x1y?(?lnx1)??1(x?x1)， x1令x?0得y?1?lnx1，即A(0,1?lnx1)， 由y?lnx的导数为y??y?lnx2?x1(x?x2)，

11，可得切线l2的斜率为?x1，切线的方程为

x2x令x?0得y?lnx2?x1x2??lnx1?1，即B(0,?lnx1?1)，则|AB|?2， 由△P2AB为等边三角形，可得x2?则m?|lnx2|?ln3， 故答案为：ln3．

【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题．

3g2?3， 2三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示．