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河北省衡水中学2020届高三第一次联合考试数学文科试题 Word版含解析

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  • 2025/7/10 17:46:37

知识,考查运算求解能力,属于中档题.

x2y212.已知椭圆C:??1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上且异于长轴端点.点

1612uuuruuuuruuuruuuurM,N在△PF1F2所围区域之外,且始终满足MP?MF,NP?NF2?0,则|MN|的最大1?0值为( ) A. 6 【答案】A 【解析】 【分析】

设PF1,PF2的中点分别为C,D,则M,N在分别以C,D为圆心的圆上,直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外)分别为M,N时,|MN|的最大,可得|MN|的最大值为

PF1?PF2?CD?a?c即可. 2B. 8 C. 12 D. 14

【详解】解:设PF1,PF2的中点分别为C,D,

QMPgMF1?0,NPgNF2?0,则M,N在分别以C,D为圆心的圆上,

∴直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外)分别为M,N时,|MN|最大, ∴|MN|的最大值为故选:A.

【点睛】本题考查了椭圆的性质,考查了转化思想,属于中档题.

PF1?PF2?CD?a?c?4?2?6, 2uuuruuuuruuuruuuur二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

vrrrrrrvva?b?3b,则a与b的夹角为__________. 13.已知非零向量a,b满足|a|?|b|,

【答案】120? 【解析】

rrv2v2vv21vvv2vv2由题意,a?b?2a?b?3b,得?2bcosa,b?b,所以cosa,b??,

2所以夹角是120?.

14.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为_____.

【答案】4. 【解析】 【分析】

由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥P?ABCD,其中,PO?底面ABCD,ABCD是正方形,边长为3,PO?2,由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长. 【详解】解:由题意几何体的直观图如图,

其中,PO?底面ABCD,ABCD是正方形, 边长为3,PO?2,AO?1AC, 2所以PC?4?(22)2?4,PB?PD?22?22?12?3, 所以最长的棱长为4, 故答案为:4.

【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图,考查四棱锥中最长棱的求法,属于基

础题.

15.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,且

?a?2a??bcosB??b2?c2,则b+c的取值范围为_____. ?2?【答案】(42,??) 【解析】 【分析】

根据已知等式和余弦定理,可推出cosB?cosC,即B?C,b?c,又知a?4,所以b?c?4;因为三角形ABC是锐角三角形,所以角A为锐角,cosA?(0,1);由

a2?b2?c2?2bccosA,设b?c?x,用cosA表示出x,并求出x的取值范围,进而得

b?c?2x的取值范围.

a22【详解】解:Qa?4,且2a(?bcosB)?b?c,

2?a2?2abcosB?b2?c2,即a2?b2?c2?2abcosB,

又Q由余弦定理可得a2?b2?c2?2abcosC,

?可得2abcosB?2abcosC,即cosB?cosC,

?B?C,b?c,又A为锐角,?cosA?(0,1), Qa?4,?b?c?4,

设b?c?x,由余弦定理知a2?b2?c2?2bccosA,

?16?2x2?2x2cosA?2x2g(1?cosA),

?x2?8?8,?x?22,2x?42,

1?cosA故b?c?42, 故答案为:(42,??).

【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想,转化思想,属于中档题. 16.已知曲线y=|lnx|与直线y=m有两个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1<x2),设l2分别是曲线y=|lnx|在点P1,P2处的切线,l2分别与y轴相交于点A,B.直线l1,且l1,△P2AB为等边三角形,则实数m的值为_____.

【答案】ln3 【解析】 【分析】

由对数的运算性质可得x1x2?1,0?x1?1?x2,分别求得y?lnx和y??lnx的导数,可得切线的斜率和切线的方程,以及A,B的坐标,可得等边三角形的边长,可得x2,进而得到m的值.

【详解】解:由曲线y?|lnx|与直线y?m有两个不同的交点,可得-lnx1=lnx2,即有

x1x2?1,0?x1?1?x2,

1由y??lnx的导数为y???,可得切线l1的斜率为?x1,切线的方程为x1y?(?lnx1)??1(x?x1), x1令x?0得y?1?lnx1,即A(0,1?lnx1), 由y?lnx的导数为y??y?lnx2?x1(x?x2),

11,可得切线l2的斜率为?x1,切线的方程为

x2x令x?0得y?lnx2?x1x2??lnx1?1,即B(0,?lnx1?1),则|AB|?2, 由△P2AB为等边三角形,可得x2?则m?|lnx2|?ln3, 故答案为:ln3.

【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,考查直线方程的运用,属于中档题.

3g2?3, 2三、解答題:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.端午节是中国传统节日之一节日期间,各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走访市场发现,各大商场粽子种类繁多,价格不一根据数据统计分析,得到了某商场不同种类的粽子销售价格(单位:元/千克)的频数分布表,如表一所示.

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知识,考查运算求解能力,属于中档题. x2y212.已知椭圆C:??1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上且异于长轴端点.点1612uuuruuuuruuuruuuurM,N在△PF1F2所围区域之外,且始终满足MP?MF,NP?NF2?0,则|MN|的最大1?0值为( ) A. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 设PF1,PF2的中点分别为C,D,则M,N在分别以C,D为圆心的圆上,直线CD与两圆的交点(△PF1F2所围区域之外)分别为M,N时,|MN|的最大,可得|MN|的最大值为PF1?PF2?CD?a?c即可. 2B. 8 C. 12 D. 14 【详解】解:设PF1,PF2的中点分别为C,D, QMPgMF1?0,NPgNF2?0,则M,N在分别

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