2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.2.1条件概率

2．2.1 条件概率

填一填 1.条件概率的定义： P?AB?

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，

P?A?

事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．

2．条件概率的性质

(1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). 判一判 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.(√) 2．若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.(√) 3．P(B|A)与P(A|B)相同．(×)

331

4．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)为.(√)

1052

5．由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A表示“第二位数字为0”，用事件B表

1

示“第一位数字为0”，则P(A|B)等于.(×)

3

6．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，

1

则P(B|A)＝.(√)

2

想一想

1.如何判断题目是条件概率？ 提示：在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率．

2．解决条件概率问题的一般方法有哪些？

P?AB?

提示：(1)在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)；

P?A?

n?AB?

(2)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在缩小后的样本空间中计算事件B

n?A?

发生的概率．

3．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．

提示：本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解． 法一(定义法)：设Ai＝{第i只是好的}(i＝1,2)．由题意知要求出P(A2|A1)．

6×5163

因为P(A1)＝＝，P(A1A2)＝＝，

10510×93P?A1A2?5

所以P(A2|A1)＝＝.

P?A1?9

法二(直接法)：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条

AB发生的可能数5

件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝.

A发生的可能数9

P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定

n?AB?

义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A)＝.

n?A?

思考感悟：

练一练 111.已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于( )

48

11A. B. 3431C. D. 82

1

P?AB?81

解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝＝＝.

P?B?12

4

答案：D

2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )

11A. B. 431

C. D．1 2

解析：因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名

1

同学抽到中奖券的概率显然是. 3

答案：B

3．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X，则X≤6的概率为________．

305

解析：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“X≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)

366

1＝， 3

P?AB?2

∴P(B|A)＝＝.

P?A?52答案：

5

41

4．某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件

1510

A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝________.

1

41P?AB?103

解析：由题意知P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.

151048P?A?

15

3答案：

8

知识点一 求条件概率 1.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A26＝30.

n?A?2021

根据分步乘法计数原理，有n(A)＝A1＝＝. 4A5＝20，所以P(A)＝n?Ω?303

n?AB?122

(2)因为n(AB)＝A2＝＝. 4＝12，所以P(AB)＝n?Ω?305(3)法一：由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)

2

P?AB?53＝＝＝. P?A?25

3

法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，

n?AB?123

所以P(B|A)＝＝＝. n?A?205

2．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：

(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率； (2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．

解析：法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，

121

所以P(A)＝＝. 363

由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8， 4＋6＝6＋4＝5＋5>8，

5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，

所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，

105

所以P(B)＝＝. 3618

在事件A发生的条件下，事件B发生，即事件AB的基本事件数为6.故P(AB)＝由条件概率公式得

1

P?AB?61

(1)P(B|A)＝＝＝.

P?A?12

31

P?AB?63

(2)P(A|B)＝＝＝.

55P?B?

18

法二：n(A)＝6×2＝12.

由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，其中 n(AB)＝6.

n?AB?61

所以(1)P(B|A)＝＝＝.

n?A?122n?AB?63

(2)P(A|B)＝＝＝. n?B?105知识点二 条件概率性质应用 3.在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在第一个球是红球的事件下，第二个球是黄球或黑球的概率．

解析：法一：设“摸出的第一个球是红球”是事件A，“摸出的第二个球是黄球”是事件

1

B，“摸出的第二个球是黑球”是事件C，则P(A)＝，

10

1×211×31

P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.

10×94510×930

11

P?AB?45102P?AC?301

∴P(B|A)＝＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.

145913P?A?P?A?1010

215

∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.

939

5

∴所求的条件概率为. 9

11

法二：∵n(A)＝1×C19＝9，n[(B∪C)∩A]＝C2＋C3＝5，

55

∴P(B∪C|A)＝.∴所求的条件概率为. 99

4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )

11A. B. 8421C. D. 52

1

222C3＋C22C21P?AB?10

解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝C25C2102P?A?55

5

61＝. 366