小学奥数精讲对策问题

小学奥数精讲——对策问题

告诉你本讲的重点、难点

对策问题涉及的课本知识并不多，只是技巧性比较强，诀窍是控制，往往在游戏中运用较多，而用数学的观点和方法来研究取胜策略就是对策问题．

看老师画龙点晴，教给你解题诀窍

【例1】桌上放着100根火柴棒，甲、乙二人轮流取，每次取1—3根，规定谁取到最后1根谁获胜．假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方法．

分析与解 我们可以从结果想起，谁能让火柴棒最后剩4根，谁就获胜．这是因为对方不论拿走几根，剩下的必能一次拿完，依照这个原则，只要让剩下的火柴棒的根数是4的倍数，就可以保证获胜．由于100就是4的倍数，所以后取的人获胜． 100÷(3+1)=25(没有余数)

答：乙后取一定获胜．如果甲拿n根，乙就拿(4-n)根，这样乙一定可以拿到最后1根而获胜． 【例2】有一排500个空格’预先在左边第1格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮流走．甲先乙后．每人走时，可以将棋子向右移动1～6格，规定谁将棋子走到最后1格谁输．甲为了必胜，第一步走几格？以后怎样走？

分析与解 本题要注意两个问题，一是在左边的第1格中已经有一枚棋子，空格只有499个；二是谁走到最后1格谁输，那么，要控制取胜就必须保证自己能将最后1格留给对方，自己就要能走到倒数第二格中．这样一共能走的格子数只有500-1-1=498格．498÷7=71．．．1． 所以，甲第一步走1格，以后，乙走n格，甲就走(7-n)格，甲一定获胜．

【例3】甲、乙二人轮流在黑板上写1～10的自然数，规定不能在黑板上写已写过的数的因数，并不重复，最后无数可写的人失败．如果甲先写，双方都采用最佳方案，那么谁一定获胜？给出一种获胜方法．

分析与解 甲先写，甲一定获胜，甲必须先写6，这样6的因数1，2，3，6就不能再写了．将剩下的六个数分为4和5，7和9，8和10三组，当乙写这六个数中的某数时，甲就写与它同组的另一数，必可获胜．

【例4】在一个3×3的方格纸（右图）中，甲、乙两人轮流往方格中写1，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中的一个，数字不能重复．最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为甲找出一种必胜的方法．

分析与解 由于甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，所以 四个角的方格里所填的数是公用的，真正决定甲乙得分的是a，b，c，d这四个位置．甲要想必胜，要把最小的数。1”填入对方的方格里(6或d)，这时，就算乙把10填入自己的方格内，两个格子里的数的和是11，这时甲把9填入自己的格子里（a或c），这样，a，c的和至少是12(即9十3)，甲必胜．

【例5】甲、乙二人依次在一个正十边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）．规定新画的对角线不能与已经画了的对角线相交，谁画下最后一条这样的对角线谁就胜．甲先画，他怎样画才能取胜？

分析与解 图形共有10个顶点，甲画第一条对角线，使得对角线两侧各有4个顶点，也就是说，将正10边形分成对称的两部分（如右图）．以后，无论乙怎样画，甲都在另一部分对称地画，如右图中的两条虚线．只要乙能画，甲必能画，所以最后一条对角线必是甲画的，甲胜．

做题也有小窍门噢！

二人对策的诀窍就是控制，我们虽然不能控制别人的操作，但有时可以控制两人操作的和是一个固定的数，有时可以控制使每次操作之后局面处于对称状态.

快来试一试你的身手吧！

1．小明和小刚两人做一种游戏：轮流报数，必须报不大于2的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是60，谁就获胜．假定双方都采用最佳方法，如果小明先报，谁一定获胜？给出获胜方法．

2．有一摞200本的图书，一次可以取走1本、2本或3本，小敏和小华轮流取，规定谁取到最后l本谁输，假定双方都采用最佳方法，小华想获胜应采取怎样的方案？

3．在一个3×3的方格纸（右图）中，甲、乙两人轮流往方格中写1，2，3，4，5，6，7，8，10这九个数中的一个，数字不能重复．最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分少者为胜，请你为甲找出一种必胜的方法．

4．黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．甲有必胜的策略吗？

通往初中名校的班车

1．小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河．问：要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多长时间？

2．有16个不同国家的集邮爱好者，想通过邮寄的方法相互交换各国最近发行的邮票，使得每人都有这16个国家的邮票，这16人之间总共至少要通信多少封？

3．取两堆石子，分别有100粒和110粒，游戏双方轮流从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至把一堆石子一次拿完），但是每次不准一粒不拿，也不准从两堆中各拿几粒，谁最后一次把剩下的所有石子拿完，谁就能获胜，如果你与同伴玩这个游戏，有必胜的策略吗？

4．桌上放着101根火柴棒，甲、乙二人轮流取，每次取1根、3根或7根，规定谁取到最后一根谁获胜，假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方案.