福建省霞浦第一中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题理(A卷)(竞赛班)

（Ⅱ）小陈能否先于客轮到达A岛？

22.(本题满分12分)设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足4Sn?an?1?4n?1，

2且a1?1，公比大于1的等比数列?bn?满足b2?3， b1?b3?10. （1）求证数列?an?是等差数列，并求其通项公式； （2）若cn?an，求数列?cn?的前n项和Tn； 3bn（3）在（2）的条件下，若cn?t2?

4t?2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围． 3霞浦一中2018-2019学年第一学期高二年第一次月考参考答案

一.选择题：（每小题5分，计60分）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.D 二.填空题：(每小题5分,计20分) 13. 若a?M且a?P，则a?M三.解答题：

P 14. 2 15.0 16.

272 8

17.解：由已知得f?x????2x?a,x?a， ?f?x?在?a,???上单调递增. ………2分

?a,x?a22若p为真命题，则? ， a?2?a， a??1或a?2； ………4分 ?a,??a?2,??????若q为真命题，??42?4?8a?0， 8a?4， a?2. ……………………6分 3p?q为真命题， p?q为假命题， ?p、q一真一假， ……………………7分 ?a??1或a?2?当p真q假时， ?，即a?2； ……………………8分 2a??3???1?a?22?当p假q真时， ?，即?1?a?. …………………… 9分 23a??3?故a???1,?3??2???2,???. ……………………10分

?sinAsinC??1??1，

?cosAcosC?18.解：（I）由2cosAcosC?tanAtanC?1??1，得2cosAcosC?1?2?sinAsinC?cosAcosC??1， ?cos?A?C???， ……………………2分

21??cosB?， 又0?B??,?B?. ……………………4分

23b?b?（II）在?ABD中，由余弦定理得c?1????2?1?cos?ADB. ……………… 6分

2?2?22b?b?在?CBD中，由余弦定理得a2?1????2?1?cos?CDB， …………………… 8分

2?2?b2a2?c2?2accosB?2?二式相加得a?c?2?， ……………………9分 222222整理得a?c?4?ac ， ……………………10分

2a2?c2?2ac, ?ac?所以?ABC的面积S?4， 311433acsinB????， ……………………11分 22323

当且仅当a?c?23时“?”成立. 33. ……………………12分 3??ABC的面积的最大值为

19.解：（I）由题设知

an?1aa?n,且1?1?0 ……………………2分 2n?12n?11?数列{an}是首项为1,公比为1的等比数列, ……………………4分 2n?1?an ……………………6分 ?1?1n?1?1?an?2n?1；2n?1（II）

111?11?=???? ……………………8分 anan?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??1111??1??11?1???1?????+=??1???????????????a1a2a2a3anan?12??3??35??2n?12n?1??1?1?111??1????.?2?2n?1?24n?22………12分

20．解：(Ⅰ)由题意可知：|MF2|为动圆M的半径．根据两圆相内切的性质得：4－|MF2|＝|MF1|，

即|MF1|＋|MF2|＝4.所以点M的轨迹C是以F1、F2为左、右焦点的椭圆，…………3分

x2y2222

设其方程为2＋2＝1(a>b>0)．则2a＝4，c＝1，故b＝a－c＝3，

ab所以点M的轨迹C的方程为＋＝1. …………6分

43

(Ⅱ)当直线l为y轴时，S△ABF1＝3，不合题意．故直线l的斜率存在，…………7分 设直线l：y＝kx，A(x1，y1)，y1>0，则B(－x1，－y1)， 由△ABF1的面积为

31133

知： y1＋ y1＝，所以y1＝，x1＝±3，…………10分 22222

x2y2

即点A的坐标为(3，

331

)或(－3，)．直线l的斜率为±， 222

故所求直线l的方程为x±2y＝0. ………………12分

21．（本小题满分12分）

解：如图，根据题意得：BC?103，BD?10，AB?57，?CBD?450?150?300.…………………1分

（Ⅰ）在?BCD中，CD?BC2?BD2?2BC?BD?cos?CBD ?(103)2?102?2?103?10?3 2

?10.……………………4分

所以轮船航行的速度V?10?2?20（海里/小时）. ……………………6分 （Ⅱ）因为CD?BD，所以?C??CBD?300，所以?ADB??C??CBD?600.

在?ABD中，AB2?AD2?BD2?2AD?BD?cos?ADB， 整理得：AD2?10AD?75?0，

解得AD?15或AD??5（不合舍去）. …………………8分 所以轮船从D处到A岛所用的时间t1?小陈到A岛所用的时间t2?所以t2?t1.

所以小陈能先于轮船到达A岛. …………………12分 22.解：(1)当即∴当又则

时，，是首项

，公差是公差时，

，∵

，∴，∴

，

.……………………2分

57107?153?小时，…………………9分 2041小时. …………………10分 2的等差数列，

， ……………………3分 的等差数列，

. ……………………4分

所以数列的通项公式为

n?1(2)由题意得bn?3， cn?an2n?1?n； ……………………5分 3bn3；

则前n项和

；

相减可得

；

化简可得前n项和； ……………………8分