江苏省扬州市2015届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

∴；

显然

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2

2

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；

而（a﹣2a）﹣4（a+4a）=a[a（a﹣4）﹣16]；

2

显然a（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0； ∴t3可能和它对应的x个数为3，2，1； ∴此时原函数零点个数为3，2，或1；

∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个．

点评： 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．

20．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列．记cn=an+bn． （1）求证：数列{cn+1﹣cn﹣d}为等比数列；

（2）已知数列{cn}的前4项分别为4，10，19，34． ①求数列{an}和{bn}的通项公式；

②是否存在元素均为正整数的集合A={n1，n2，…，nk}（k≥4，k∈N），使得数列

为等差数列？证明你的结论．

考点： 等差数列的性质．

专题： 综合题；等差数列与等比数列．

分析： （1）依题意，cn+1﹣cn﹣d=（an+1+bn+1）﹣（an+bn）﹣d=（an+1﹣an）﹣d+（bn+1﹣bn）=bn（q﹣1）≠0，利用等比数列的定义，即可得出结论；

（2）①由（1）得，等比数列{cn+1﹣cn﹣d}的前3项为6﹣d，9﹣d，15﹣d，求出d，q，即可求数列{an}和{bn}的通项公式；

②利用反证法，假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且cl，cm，cp，cr成等差数列，则2cm=cp+cl，得出cm，cp，cr为数列{cn}的连续三项，从而2cm+1=cm+cm+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，即可证明结论．

解答： （1）证明：依题意，cn+1﹣cn﹣d=（an+1+bn+1）﹣（an+bn）﹣d=（an+1﹣an）﹣d+（bn+1﹣bn）=bn（q﹣1）≠0，…3分 从而

，又c2﹣c1﹣d=b1（q﹣1）≠0，

*

，，…，

所以{cn+1﹣cn﹣d}是首项为b1（q﹣1），公比为q的等比数列． …5分

（2）解：①由（1）得，等比数列{cn+1﹣cn﹣d}的前3项为6﹣d，9﹣d，15﹣d，

2

则（9﹣d）=（6﹣d）（15﹣d）， 解得d=3，从而q=2，…7分 且

解得a1=1，b1=3， 所以an=3n﹣2，

． …10分

②假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且cl，cm，cp，cr成等差数列，

则2cm=cp+cl，

因为cl＞0，所以2cm＞cp，① 若p＞m+1，则p≥m+2， 结合①得，2[（3m﹣2）+3?2化简得，

*

m﹣1

]＞（3p﹣2）+3?2

p﹣1

≥3（m+2）﹣2+3?2，

m+1

，②

m

因为m≥2，m∈N，不难知2﹣m＞0，这与②矛盾， 所以只能p=m+1， 同理，r=p+1，

所以cm，cp，cr为数列{cn}的连续三项，从而2cm+1=cm+cm+2， 即2（am+1+bm+1）=am+bm+am+2+bm+2，

故2bm+1=bm+bm+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，

所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A． …16分

点评： 本题考查等比数列的判定，考查等差数列、等比数列的通项，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、（附加题）[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）

21．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP?BC=AC?CP．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 推理和证明．

分析： 根据弦切角定理，可得∠PCA=∠CBP，进而可得△CAP∽△BCP，进而根据对应边成比例，化为积等式，可得答案．

解答： 证明：因为PC为圆O的切线， 所以∠PCA=∠CBP，…（3分） 又∠CPA=∠CPB，

故△CAP∽△BCP，…（7分） 所以AC：BC=AP：PC，

即AP?BC=AC?CP． …（10分） 点评： 本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定及性质，难度不大，属于基础题．

三、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）

22设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．

考点： 特征值与特征向量的计算． 专题： 选作题；矩阵和变换．

分析： 利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值． 解答： 解：设则故

解得

是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量， ，…5分

…10分．

点评： 本题考查特征值与特征向量，考查学生的计算能力，理解特征向量是关键．

四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分） 23在极坐标系中，设直线θ=

与曲线ρ﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB

2

中点的极坐标．

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： 方法一：将直线直线θ=

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化为普通方程得，

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x，将曲线ρ﹣10ρcosθ+4=0

2

化为普通方程得，x+y﹣10x+4=0，联立消去y得，2x﹣5x+2=0， 利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．

方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．

解答： 解：方法一：将直线θ=

2

2

化为普通方程得，

2

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x，

将曲线ρ﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x+y﹣10x+4=0， 联立

并消去y得，2x﹣5x+2=0，

2

∴x1+x2=， ∴AB中点的横坐标为∴

化为极坐标为

=，纵坐标为= ．

，

方法2：联立直线l与曲线C的方程组，

消去θ，得ρ﹣5ρ+4=0， 解得ρ1=1，ρ2=4， ∴线段AB中点的极坐标为

，即

．

2

点评： 本题考查了直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a+b+c≥．

考点： 二维形式的柯西不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由条件利用柯西不等式可得（a+b+c）（1+4+9）≥（a+2b+3c）=16，变形即可证得结论．

解答： 证明：∵a+2b+3c=4，由柯西不等式，得（a+b+c）（1+4+9）≥（a+2b+3c）=16， ∴a+b+c≥，当且仅当∴a+b+c≥．

点评： 本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题． 四、【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y=2px（p＞0）上．

（1）求p，t的值；

（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．

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时，等号成立，即当a=、b=、c=时，等号成立，

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）运用代入法，即可求得p，t；