2018年高考数学二轮专题复习训练：3个附加题专项强化练(二) 随机变量、空间向量、抛物线(理科)

111111111115111

P(ξ＝3)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝4)＝×＋×＝，P(ξ＝5)＝×＝. 66636266263366212所以ξ的概率分布为：

ξ P 0 1 121 7 362 1 33 1 64 5 365 1 12∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×

1711517＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 12363636123

6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py(p>0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2.

(1)求抛物线的方程；

(2)如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

p

解：(1)抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，因为M(m,1)到焦点F的距离为2，

2p

由抛物线定义，知MF＝1＋＝2，即p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.

2

11

(2)因为y＝x2，所以y′＝x.

42

tt1

t，?，t≠0，则抛物线在点E处的切线方程为y－＝t(x－t)． 设点E??4?42tt

，0?. 令y＝0，则x＝，即点P??2?2

tt2

，0?，F(0,1)，所以直线PF的方程为y＝－?x－?，即2x＋ty－t＝0. 因为P??2?t?2?t

t，?到直线PF的距离为d＝则点E??4?

2

x??y＝4，联立方程?

22

2

?2t＋t－t??4?|t|4＋t24＋t2＝

4

3

.

??2x＋ty－t＝0，

消去x，得t2y2－(2t2＋16)y＋t2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2t2＋16

因为Δ＝(2t＋16)－4t＝64(t＋4)>0，y1＋y2＝，

t22

2

4

2

2t2＋164?t2＋4?

所以AB＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝2＋2＝.

tt23

?t2＋4?

214?t＋4?|t|4＋t1

所以△EAB的面积为S＝××＝×. 22t42|t|

2

2

3?x2＋4?

2

不妨设g(x)＝x(x>0)， 1

?x2＋4?

22

则g′(x)＝(2x－4)．

x2因为x∈(0，2)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，2)上单调递减； x∈(2，＋∞)上，g′(x)>0，所以g(x)在(2，＋∞)上单调递增． 3?2＋4?

2

所以当x＝2时，g(x)min＝＝63.

21

所以△EAB的面积Smin＝×63＝33.

2所以△EAB的面积的最小值为33.