(部编本人教版)最新高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间几何体学案【经典练习】

A．1 B．2 C．4 D．8 答案 B

解析 由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的112222

一半底面重合，则其表面积为×4πr＋πr＋2r×2r＋×2πr×2r＝4r＋5πr＝16＋

2220π，解得r＝2，故选B.

(2)(2018·绍兴质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( )

3

A．2 B．3 C．4 D．6 答案 A

解析 将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为112

正方形(边长2)，高为3的正四棱锥，则其体积V＝Sh＝×(2)×3＝2，故选A.

33热点三 多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图． 例3 (1)已知正三棱锥S－ABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱

5

锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为23，则球O的表面积为( )

A．16π B．18π C．24π D．32π

答案 A

解析 设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a， 则AD＝3232a，则AO＝3AD＝3

a， 所以3

3

a＝R，即a＝3R， 又因为三棱锥的体积为23，

所以1323×4aR＝13×34×(3R)2

×R＝23，

解得R＝2，所以球的表面积为S＝4πR2

＝16π.

(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )

A.

25π25π1 1254 B.16 C.π1 125π4 D.16

答案 D

解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD－A1B1C1D1中，

6

三棱锥B－KLJ即为所求的三棱锥，其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16，∴则△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°， 故可求得三棱锥各面面积分别为

KC1LB1

＝， C1LB1BS△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250，

故表面积为S表＝800.

1

三棱锥体积V＝S△BKL·JK＝1 000，

3设内切球半径为r，则r＝

3VS表

＝15， 4

431 125π

故三棱锥内切球体积V球＝πr＝. 316

思维升华 三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点． (2)P－ABC为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线．

跟踪演练3 (1)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A．13π B．20π C．25π D．29π 答案 D

解析 把三棱锥P－ABC放到长方体中，如图所示，

所以长方体的体对角线长为2＋3＋4＝29， 所以三棱锥外接球的半径为

29

， 2

2

2

2

所以外接球的表面积为4π×?

?29?2

?＝29π. ?2?

(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则等于( )

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案 C 解析 如图，

S1S2

7

由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长， 12

则lR＝2πr， 2

12

即·2π·r·R＝2πr， 2解得R＝2r，

故∠ADC＝30°，则△DEF为等边三角形， 设B为△DEF的重心，过B作BC⊥DF，

则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，

BC1r内1S11则＝，∴＝，故＝. BD2r外2S24

真题体验

1．(2018·全国Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为________．

答案 25

解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图①所示．

圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为

M到N的最短路径．ON＝×16＝4，OM＝2，

∴MN＝OM＋ON＝2＋4＝25.

8

22221

4