（湖南专版）2020年中考数学复习提分专练04二次函数小综合

提分专练(四) 二次函数小综合

|类型1| 二次函数与其他函数的综合

1.[2019·烟台]如图T4-1,顶点为M的抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E.双曲线y= (x>0)经过点D,连接MD,BD. (1)求抛物线的表达式.

(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;

(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)

2

图T4-1

|类型2| 二次函数与几何图形综合

2.[2017·攀枝花改编]如图T4-2,抛物线y=x+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式,并求A点的坐标.

(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:△CFE是等腰直角三角形.

2

图T4-2

3.[2019·遵义]如图T4-3,抛物线C1:y=x-2x与抛物线C2:y=ax+bx开口大小相同,方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB. (1)求抛物线C2的解析式.

(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.

(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC的面积最大?并求出最大面积.

2

2

图T4-3

4.[2019·长沙]如图T4-4,抛物线y=ax+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(-3

(2)过点C作☉P的切线CE交x轴于点E. ①如图①,求证:CE=DE;

②如图②,连接AC,BE,BO,当a=,∠CAE=∠OBE时,求

2

-的值.

图T4-4

【参考答案】

1.[解析](1)利用反比例函数的性质,可知矩形OEDC的面积为6,利用抛物线的表达式可以求出点C的坐标,从而得到OC的长,利用矩形OEDC的面积可以求出CD的长,进而确定点D的坐标,将点D和点A的坐标代入抛物线的表达式,就可以求出抛物线的表达式中的待定系数的值,从而得到抛物线的表达式;(2)利用轴对称的性质和两点之间线段最短,作点D关于x轴的对称点H,作点M关于y轴的对称点I,连接HI,交x轴于点N,交y轴于点F,此时以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小,利用一次函数,可以求出点N,F的坐标;(3)利用圆周角的性质,可以知道,当以BD为弦的圆与直线OC相切时∠BPD的度数最大,利用圆心到切点的距离等于半径,列方程即可求出t的值. 解:(1)当x=0时,y=3, ∴C(0,3),OC=3,

∵CD⊥y轴,DE⊥x轴,CO⊥EO, ∴四边形OEDC为矩形. 又∵双曲线y= (x>0)经过点D, ∴S矩形OEDC=6,∴CD=∴D(2,3).

2 - - 将点A(-1,0),D(2,3)的坐标代入抛物线y=ax+bx+3得 解得

矩形

=2,

∴抛物线的表达式为y=-x+2x+3.

(2)作点D关于x轴的对称点H,作点M关于y轴的对称点I,如图,

2

由轴对称的性质可知FM=FI,ND=NH,

∴四边形MDNF的周长=MD+DN+FN+FM=MD+NH+FN+FI,

∵MD是定值,∴当NH+FN+FI最小时,四边形MDNF的周长最小. ∵两点之间线段最短,∴当I,F,N,H在同一条直线上时,NH+FN+FI最小.