新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直(第1课时)直线与直线垂直、直

新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直（第1课时）直线与直线垂直、直线与平面

垂直的定义及判定应用案巩固提升新人教A版必修第二册

[A 基础达标]

1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )

A．α∥β，且m?α C．m⊥n，且n?β

B．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，且n∥β

解析：选B.A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.

2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是( ) A．b⊥β C．b?β

B．b∥β D．b?β或b∥β

解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.

3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )

解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，

AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；

对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.

4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

解析：选B.由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC， 又AC⊥PC，PC∩PB＝P，

所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ( )

A．线段B1C B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段

解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．

6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______． 解析：连接AD1，则AD1∥BC1.

所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，

所以∠CAD1＝60°，

即AC与BC1所成的角为60°. 答案：60°

7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有__________________； (2)与AP垂直的直线有__________________．

解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，

AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP?平面PAC，所以BC⊥AP.

答案：(1)AB，AC，BC (2)BC

8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．

解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD. 若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P， 则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.

在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ. 所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2. 答案：2

9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.

证明：因为AB＝AC，D是BC的中点， 所以AD⊥BC.①

又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.② 由①②得AD⊥平面BB1C1C.

由点E在棱BB1上运动，得C1E?平面BB1C1C， 所以AD⊥C1E.

10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若

DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解：取AC的中点F，连接EF，BF， 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，

所以EF∥CD，

所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角． 在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，

所以AB＝AC＝1，

11

在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，

22所以BE＝

5

. 2

111

在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，

222所以EF＝

2

. 2

15

在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝.

2212

EF2410

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，

BE510

2所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为

10. 10

[B 能力提升]

11．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有( )

A．1条 C．3条

B．2条 D．4条

解析：选B.过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′、b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′、b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a′、b′成30°的角，即与a、b成30°的角且过点P的直线有两条．

在a′、b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′、b′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )

1A. 5C.5 5

B.5 62 2

D.

解析：选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接

DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1

与DB1所成角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，