高考数学二轮复习练习：专题限时集训10 立体几何中的向量方法

→→→31

∴AC′＝(0,1,1)，BC′＝(0，－1,1)，C′D＝?，，－1?.

?22?设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →→???n1⊥AC′，?n1·AC′＝0，

则?即?

→→??C′D＝0，?n1⊥C′D，?n1·

y＋z＝0，??11

?3令z1＝1，则y1＝－1，x1＝3， 1??2x1＋2y1－z1＝0，∴n1＝(3，－1,1).

6分

8分

设平面BC′D的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →→???n2⊥BC′，?n2·BC′＝0，则?即?

→→??C′D＝0，?n2⊥C′D，?n2·

－y＋z＝0，??223

?3令z2＝1，则y2＝1, x2＝， 13??2x2＋2y2－z2＝0，∴n2＝?3?，1，1，

?3?

3×∴cos〈n1，n2〉＝

3

＋3

－

＋1×1

1＝1＋1＋15×3

12分

3＋1＋1×－105. 35

73

＝105，二面角A-C′D-B的余弦值为

35

15分

4．(2017·杭州学军中学高三模拟)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

图10-14

(1)已知G，H分别为EC，FB的中点．求证：GH∥平面ABC； 1

(2)已知EF＝FB＝AC＝23，AB＝BC.求二面角F-BC-A的余弦值．

2[解] (1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI(图略)．

在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB.

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC. (2)法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC.

又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)， 所以BC→

＝(－23，－23，0)，

过点F作FM垂直于OB于点M.

所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)． 故BF→

＝(0，－3，3).

设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量． ?→由??m·BC＝0，??m·

BF→

＝0，可得??－23x－23y＝0，?－3y＋3z＝0，

可得平面BCF的一个法向量m＝?3?

－1，1，

3??. 因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)， 所以cos〈m，n〉＝m·n

7|m||n|＝7. 所以二面角F-BC-A的余弦值为

77

.

法二：连接OO′.过点F作FM垂直于OB于点M，

3分

6分

8分 10分

12分

15分

则有FM∥OO′.

又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC. 9分 可得FM＝FB2－BM2＝3.

OB＝23，OM＝O′F＝3，BM＝OB－OM＝3，

过点M作MN垂直BC于点N，连接FN.

可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角． 又AB＝BC，AC是圆O的直径， 所以MN＝BMsin 45°＝6

2.

从而FN＝FM2＋MN2＝

422

， 可得cos∠FNM＝MN7

FN＝7，

所以二面角F-BC-A的余弦值为

77

.

分

分

1315