常微分方程计算题及答案

《常微分方程》计算题及答案 32

两边积分得 ln|zu|??2arctanz?ln|C| 代回原变量，得通解 y?2?ce

此外，z?0即y??2也是解，它包含在上述通解中。

25、解：首先求线性齐次方程

y?2?2arctanx?3dy1?2x?y?0 的通解。 2dxx1dy2x?12x分离变量，得 ?dx， 两边积分得 y?Cxe 2yx?e?设原方程通解为 y?C(x)xe， 代入原方程，得到 C'(x)两边积分得 C(x)?C?e?1x12x?1x1 2x

12x2于是，所求方程的通解为 y?Cxe?x。

26、解：若对调x与y的地位，即可把方程化为

dxx1??? dyylnyydxx这是以x为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 ??0 的通解。

dyylnydx1C分离变量，得 ??dy， 两边积分得 x?xylnylnyC(y)1为求得原方程通解，设 x?，代入原方程，得 C'(y) ?lnylnyy(lny2)两边积分得 C(y)?C?

2Clny?所以，所求方程的通解为 x?。 lny2

27、解：若对调x与y的地位，即可把方程化为

dxx???1?2lny dyydxx?? 的通解。 这是以x为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 dyydxdyC??， 两边积分得 x? 分离变量，得 xyyC(y)?y?2yln令 x?，代入原方程，得 C'(y) yy两边积分得 C(y)?C?2yln y 《常微分方程》计算题及答案 33

所以，所求方程的通解为 x?

28、解：原方程为

C?ylny。 ydyy1， 令z?y2，代入上式得 ??dx2x2ydzz??1 （1） dxx'1zz1??上式两边同乘，并整理得 ????， 两边积分得 ?C?ln|x|

xxx?x?这样，得到线性方程（1）的通解为 z?Cx?xln|x|

代回原变量，得原方程通解 y2?Cx?xln|x| 此外，y出现在分母位置，不可取0。

29、解：因为M(x,y)?2xy,N(x,y)?(x2?y2)，所以有

因此方程为全微分方程。取x0?0,y0?0，得

?M(x,y)?N(x,y) ?2x??y?xy3u(x,y)??0dx??(x?y)dy?xy?

003y32?C。 于是方程的通解为 xy?3xx222

30、解：这里 M(x,y)?y?M(x,y)1?N(x,y),N(x,y)?y3?lnx，于是 ??x?yx?x?y?dx?lnxdy??y3dy?0 ?x?y4y4)d? 0?C 即 d(ylnx?所以，方程的通解为 ylnx?44因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到 ?

31、解：这里M(x,y)?x1?x2?y2?yyx， N(x,y)??2222x2?y2x?y1?x?y3??M(x,y)?N(x,y)12y2222于是 ???xy(1?x?y)?2?2222?y?xx?y(x?y)y??22因此这是一个全微分方程。即 d1?x?y?d?arctan??0

x??y22所以，方程的通解为 1?x?y?arctan?C。

x??

《常微分方程》计算题及答案

xyxy34

32、解：这里M(x,y)?1?e, N(x,y)?e?1???x??M(x,y)?N(x,y) ??，经计算知

y??y?x这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到

xx?x?xyyydx??edx?edy?edy??0

??y??x?x?yye?0， 所以，方程的通解为 x?yey?C。 即 dx?d??????

33、解：将方程改写为 (x?y?1)dx?(x?y2?3)dy?0

这里 M(x,y)?x?y?1,N(x,y)??(x?y2?3)

?M(x,y)?N(x,y)???1 ?y?x这是一个全微分方程。取x0?0,y0?0，得

所以

u(x,y)??M(x,y0)dx??N(x,y)dy??(x?1)dx???(x?y2?3)dy

0000xyxyx2y3??x?xy??3y 23x2y3?x?xy??3y?C。 于是方程的通解为 23?M?N44334、解：M(x,y)?x?y,N(x,y)??xy， ?4y3,??y3

?y?x?M?N?55?y?x4y3?y3??xdx1?5 ??所以 ，这样，方程有积分因子 ?(x)?exN?xy3?x1dxy4y3?5dx?4dy?0 原方程两端乘以5，得到全微分方程

xxxx?y4?y4x?|)d0x?|4?C。 即 d(ln| ln|?4??，原方程的通解为

4x4x??35、解：M(x,y)?2xy?y,N(x,y)?y?y?x，

22?M?N?4xy?1,?1 ?y?x?M?N?2(2xy?1)2?y?x???， 于是得到然

?M?y(2xy?1)y所以，方程有积分因子 ?(y)?e??ydy2?1 y2 《常微分方程》计算题及答案 35

于是原方程可化为 ?2x????1x?1?dx???1??2?dy?0 y?yy??(dln|y?|)， 02即 d(x)?d??x?y??d??y?2x ?y?ln|y|?Cydp136、解：令 y'?p，则 y\?p，代入方程得 pdp??3d ydyy因而，方程的通解为 x?1?Cy2dy1?Cy2??两边积分得 p? ，从而将方程降为一阶方程 dxyy22将变量分离，易求得其通解为 1?Cy2?(Cx?C1)2。

3237、解：特征方程为 ??????1?0， 因式分解为 (??1)?(2?1)? 0x特征根为?1?1,?2,3??i，故所求通解为 y?C。 ?Cx1e?C2cosx3sin

3238、解：特征方程为 ??2??3??10?0， 因式分解为 (??2)?(2?4??5?) 0特征根为?1??2,

39、解：特征方程为 ??1?0， 特征根为?1,2?故所求通解为

2x2?2,3?2?i，故所求通解为

y?C1e?2x?e2x(C2cosx?C3sinx)。

42222?i,?3,4???i， 22222x2y?e?22????C1cos2x?C2sin2x???e???22???C3cos2x?C4sin2x??。 ??

64240、解：特征方程为 ??2????2?0， 因式分解为

(??2)(??2)(??1)(?2?1)?0

特征根为?1?2,?2??2,?3?1,?4??1,?5,6??i，故所求通解为

2x y?C1e?C2e?2x?C3ex?C4e?x?C5cosx?C6sinx.

4241、解：特征方程为 ????0，

特征根为?1??1,?2,3?1,?3,4?0（二重），故所求通解为

y?C1?C2x?C3e?x?C4ex.

042、解：特征方程为 ??4??8??8??3?，因式分解为(??1)2(?2?2??3)?0

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