211二重积分概念

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分

第二十一章 二重积分

§1 二重积分概念

教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质．

(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议

(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍． (2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题． 教学程序

一、平面图形的面积

（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念

直线网T分割平面图形P，T的网眼中小闭矩形?i的分类： （ⅰ）?i含的全是P的内点,

（ⅱ）?i含的全是P的外点（不含P的点）, （ⅲ）?i内含有P的边界点, 记sP?T?为T的第ⅰ类?i的面积的和． 记SP?T?为T的第ⅰ和第三类?i的面积的和． 记IP=记IP=

sup?sP?T??T，称为P的内面积．

inf?SP?T??T，称为P的外面积．

定义1 若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP，则称P为可求面积，并称其共同值IP=IP=IP为P的面积（约当，黎曼测度）

1

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分

定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的??0，总存在直线网T，使得

SP?T??sP?T??? . （2）

证明 [必要性]设平面有界图形P的面积为IP．由定义1，有IP=IP=IP．对任给的?，由IP及IP的定义知道，分别存在直线网T1与T2，使得

sP?T1??IP?,SP?T2??IP?22，

??记T为由T1与T2这两个直线网合并的直线网，可证得

sP?T1??sP?T?，SP?T2??SP?T?， (3)

于是由（3）可得

sP?T??IP?,SP?T??IP?22，

??从而得到对直线网T有 SP?T??sP?T???，

[充分性]对任给的??0，存在直线网T，使得（2）式成立．但

sP?T??IP?IP?SP?T?，

所以 IP?IP?SP?T??sP?T???，

由?的任意性，因此IP=IP，因而平面图形P可求面积．

推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积IP?0，即对任给的??0，存在直线网T，使得，

SP?T???，

或对任给的??0，平面图形P能被有限个其面积总和小于?的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．

证明 由定理21．1，P可求面积的充要条件是：对任给的??0，存在直线网T，使得SP?T??sP?T???．由于

SK?T??SP?T??sP?T???，

所以也有SK?T???．由上述推论，P的边界K的面积为零．

2

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分

定理21.3 若曲线K为由定义在?a,b?上的连续函数f?x?的图象，则曲线K的面积为零

证明 由于f?x?在闭区间?a,b?上连续函数，从而一致连续．因而对任给的

??0，总存在??0，当把区间?a,b?分成n个小区间?xi?1,xi??i?1,?,n?并且满足

max??xi?xi?xi?1i?1,?,n???时，可使在每个小区间?xi?1,xi?上的振幅都成立

?i??b?a．现把曲线K按自变量x?x0,x1,?,xn分成n个小段，这时每一个小段

都能被以?xi为宽，?i为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为

???xii?1ni??b?a??xi?1ni??，

所以由定理21．1的推论即得曲线K的面积为零．

还可证明得到：由参量方程x???t?,Y???t????t???所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零． 二、 二重积分的定义及其存在性

背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．

定义 设f?x,y?是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域：

??1,??2,??,??n,以??i表示??i的

面积，这些小区域构成D的一个分割T，

以di表示?i的直径，称

nT?max?di?1?i?n为分

f(?i,?i)??i???,?iiiT割的细度，在每一个上任取一点（），作和式： i?1称之为函数在上属于分割的一个积分和．

，

3

《数学分析》下册 第二十一章 二重积分

定义2 设f?x,y?是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数?，总存在某个正数?，使对于D的任何分割T，当它的细度T??时，属于T的所有积分和都有

?f(?,?)??iii?1Ni?J??，

则称f?x,y?在D上可积，数J称为函数f?x,y?在D上的二重积分，记作

J=

??f?x,y?d?D，

其中f?x,y?称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域．

????fx,y?0几何意义：当时，二重积分D为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.

直角坐标系下可表示为：

f?x,y?d?在几何上表示以z?f?x,y???f?x,y?d???f?x,y?dxdyD=

D.

可积的必要条件：f?x,y?在可求面积的区域D上有界

函数f?x,y?在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域?1,?,?n，令

Mi?supf?x,y??x,y???i，

mi?inff?x,y??x,y???i，?i?1,?,n?

f?x,y? 关于分割T的上和与下和：

S?T???Mi??iI?N,

s?T???mi??iI?N.

定理21.4 f?x,y?在D上可积的充要条件是：

limS?T?lims?T?T?0=T?0.

定理21.5 f?x,y?在D上可积的充要条件是：对于任给的正数?，存在D的某个分割T，使得S?T??s?T???．

定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积．

定理21.7 设f?x,y?是定义在有界闭区域D上的有界函数．若f?x,y?的不

4