(完整word版)2016年浙江省高考数学试卷(理科)及解析

由，可得，取=．

∴==． ．

∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为

【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（15分）

【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义． 【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围； （Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；

（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）． 【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时， x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；

当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）， 则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是（2，2a）； （Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2， 则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2． 由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去）， 由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，

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即m（a）=；

（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）； 当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）} =max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}． 则M（a）=

．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19．（15分）

【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合． 【分析】（Ⅰ）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．

（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：

，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，

得x1=0或x2=，

直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=．

（Ⅱ）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，

记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|=

，|AQ|=

，

故：=

，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）

k12k22]=0，由k1≠k2，

k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0， 因此

a2（a2﹣2）①，

因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1， 所以a＞．

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因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2， e==

得，所求离心率的取值范围是：

．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力． 20．（15分）

【考点】数列与不等式的综合．

【分析】（I）使用三角不等式得出|an|﹣|an+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加

法可求得＜1，即结论成立；

（II）利用（I）的结论得出的任意性可证|an|≤2． 【解答】解：（I）∵|an﹣∴

﹣

≤

﹣＜

，进而得出|an|＜2+（）m?2n，利用m

|≤1，∴|an|﹣|an+1|≤1，

，n∈N*，

∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

≤++

﹣

+…+==1﹣＜1．

∴|an|≥2n1（|a1|﹣2）（n∈N*）．

（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，

﹣

=（

﹣

）+（

﹣

）+…+（

﹣

）

≤++…+=＜．

∴|an|＜（

+

）?2n≤[

+

?（）m]?2n=2+（）m?2n．①

由m的任意性可知|an|≤2．

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否则，存在n0∈N*，使得|a

|＞2，

取正整数m0＞log且m0＞n0，则

2?（）＜2?（）=|a|﹣2，与①式矛盾．

综上，对于任意n∈N*，都有|an|≤2．

【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．

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